Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Das Collatz-Problem – gelöst?

Posted by Modulix - Juni 5, 2011

Das 3n+1-Problem, auch “ Collatz-Problem“  genannt,  scheint gelöst zu sein.

Der Beweis besteht anscheinend darin, dass ein zum Collatz-Problem äquivalentes Problem aus der Funktionentheorie gelöst wurde.

Hier ist der Artikel dazu.

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Das erste Mathe-Abitur des G8 in Bayern (I)

Posted by Modulix - Mai 26, 2011

Am 20. Mai, also ziemlich genau vor einer Woche wurde das erste Mathematik-Abitur des achtjährigen Gymnasiums geschrieben.

Interessant an diesem Mathe-Abitur war, dass das Schlagwort von der neuen „Aufgabenkultur“ inzwischen Gestalt in Form bestimmter Aufgaben angenommen hat , die sich deutlich vom bisherigen G9-Abi unterscheiden.

Das schlägt sich insbesondere im Analysis-Teil (der hinsichtlich Punkte-Gewichtung die Hälfte der Note ausmacht) und im Geometrie-Teil nieder. Der Stochastik-Teil ist eher durch Standard-Aufgaben geprägt.

Insbesondere der Analysis-Teil ist besonders interessant:

Er beginnt mit ein paar Einstiegsaufgaben, die im Grunde nicht sehr schwer sind, aber doch grundlegendes Verständnis abfragen. Typisch ist dabei folgende Aufgabe: (Aufgabe 4  aus Aufgabengruppe II, Analysis Teil I)

„Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge \mathbb{R}\setminus\{0\} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y =2 als Asymptote besitzt und in x =-1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.“

Gerade diese Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler, etwas selbst zu erstellen, freilich nach bestimmten Vorgaben, aber sie sollen unter Verwendung eines gewissen Repertoires an Kenntnissen eine Funktion basteln, die den Forderungen genügt. Es geht hier also gerade nicht darum, ein Kalkül  blind abzuspulen, sondern ein bisschen nachzudenken. Außerdem gibt es im Prinzip unendlich viele Lösungen.

Eine Lösung wäre übrigens: f(x)=\frac{2(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}.

Im Bereich Geometrie konnte man (wie auch in den anderen beiden Bereichen Analysis und Stochastik)  aus zwei Aufganegruppen wählen, die nicht ganz einfach waren, aber schon den Weg zu anderen Aufgabenformen weisen und deshalb von einigen Schülern als recht schwer empfunden werden. Das liegt daran, dass nicht so sehr das mühsame Gleichungslösen im Vordergrund steht, sondern eine auf elementargeometrische Einsichten abzielende Aufgabenstellung  favorisiert wird.

Ein Beispiel (Aufgabe b aus Geometrie Aufgabengruppe II):

Ein Dreieeck ABC sei rechtwinklig mit Hyptenuse [AB].

„Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B.durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise“

Hier muss also etwas beschrieben werden. Hier geht es um „Kongruenz„, ein Begriff der zwar grundlegend ist, den viele Schüler aber zuletzt in der 7. Klasse gehört haben könnten. Dass es um die Rotation der beiden Dreiecke geht, die im Thaleskreis über der Hypotenuse [AB] liegen und die Maße des Ausgangsdreiecks ABC haben, zielt auf die Elementargeometrie ab.

Die Bsteimmung der Höhe kann über ähnliche Dreiecke oder über die Flächenformel: A=1/2 ab=1/2ch bestimmt werden.

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Benoit Mandelbrot gestorben

Posted by Modulix - Oktober 17, 2010

Wie man den Medien entnehmen kann, ist Benoit Mandelbrot gestorben.

Mandelbrot ist in erster Linie durch die berühmte Mandelbrotmenge für die Funktion f(z)=z2+c bekannt. ( Bei ihr handelt es sich um den Teil des Parameterraums, für den die zugehörigen Juliamengen zusammenhängend sind.)

Aber Mandelbrot wird langfristig vielleicht auch als derjenige bekannt bleiben, der eine komplexere Herangehensweise bei der Analyse von Wertpapierkursen empfohlen hat.

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Mal wieder ein bisschen Wind um P und NP

Posted by Modulix - August 27, 2010

Damit es nicht langweilig wird, gibt seit kurzem ein bisschen Aufregung um einen möglichen „Beweis“ der P/NP-Vermutung. Sogar der Spiegel berichtet darüber, ein Wiki existiert dazu ebenfalls bereits. Offenbar gibt es Zweifel an der Richtigkeit des Beweises. Allerdings wäre es ganz interessant zu erfahren, ob der Beweisansatz wenn schon nicht den Beweis liefert, so doch einen originellen Beitrag bedeutet, den nachzugehen lohnenswert wäre.

Terence Tao liefert in einem Kommentar zu einen Blog-Beitrag ein paar (mir allerdings unverständliche Anhaltspunkte):

„k-SAT (or more generally, any non-empty solution space of an NP problem) supports ppp distributions (by starting with the uniform distribution on \{0,1\}^n, and then returning some default solution if one falls outside the solution space). ppp supports seem to be close to something like a “polynomially computable image of a cube”, but I do not know the precise characterisation.

In order to support a pp distribution, the behaviour of the solution space in one of the variables (a terminal one in the pp factorisation) must depend on at most a polylog number of the other variables. Thus for instance the set EVEN of n-tuples (x_1,…,x_n) that add up to 0 mod 2 does not support pp, and more generally neither does a typical solution to a XORSAT problem. From the known clustering properties of SAT I can well believe that the same is also true for SAT in the hard phase, and it is likely that Deolalikar’s paper contained a proof of this fact.“

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Geometrisches Langlands-Programm I: Weils Drehscheibe und Frenkels vierte Spalte

Posted by Modulix - Mai 5, 2010

In einem programmatischen Bourbaki-Artikel  über die geometrische Langlands-Korrespondenz beginnt Edward Frenkel mit einer Episode über A. Weil:

Wegen Desertion im Gefängnis einsitzend antwortet er auf die Frage seiner Schwester, was ihn wirklich an seiner Arbeit interessiere. 

Er antwortet mit seiner „Philosophie“ einer Drehscheibe der drei großen Bereiche:

Zahlentheorie;  Kurven über F_{q};  Riemannsche Flächen

Die Frage, die Weil interessierte, bestand in den korrespondierenden Begriffen der jeweiligen Spalten.
Was etwa entspricht der Galoisgruppe bei den Riemannschen Flächen, was entspricht den Zahlen der Form \frac{p}{q} in den anderen Spalten usw. Es geht also (zunächst einmal) um die Analogien zwischen Geometrie und Zahlentheorie.

Frenkel hat in seinem Artikel das Langlands-Programm im Sinn und diskutiert zunächst den Zugang, der es mit den ersten beiden Spalten zu tun hat. Insbesondere über die zweite Spalte verliert er nicht viele Worte und verweist auf die bahnbrechenden Arbeiten von Lafforgue, der dafür ja auch die Fields-Medaille erhalten hat. (Übrigens ist die IHES-Seite von Lafforgue sehr interessant, weil er sich inzwischen zu einem recht aggressiven Bildungspolitiker entwickelt hat.)
Frenkel wendet sich der dritten Spalte, also den Riemannschen Flächen zu. Wenn man vom  geometrischen Langlands-Programm spricht, dann geht es um die zur „klassischen“ Langlands-Korrespondenz analogen „Objekte“ auf Riemannschen Flächen.

Frenkel ergänzt die drei Säulen durch einen weiteren Untersuchungsgegenstand, den er „Quantenphysik“ nennt. Tatsächlich meint er Stringtheorie bzw.  Konforme Quantenfeldtheorie:

Zahlentheorie;  Kurven über F_{q};  Riemannsche Flächen; Quantenphysik

Was haben nun die zahlentheoretischen, algebro-geometrischen Betrachtungen mit der Quantenphysik bzw. Stringtheorie zu tun? Nun, er geht von der insbesondere durch Witten und Kapustin untersuchten elektromagnetischen Dualität aus. Witten und Kapustin haben einen über 220-seitigen Artikel in den arxives veröffentlicht, der im Prinzip die Hauptreferenz von Frenkel ist.

Darin werden die (nicht nur aus physikalischer Sicht) recht verzwickten Begriffsbildungen, die im Rahmen des „Geometrischen Langlands-Programms“ eine Rolle spielen, mit physikalisch eher nachvollziehbaren Begriffen in Verbindung gebracht.

Man könnte es auch so formulieren: Witten und Kapustin haben eine Übersetzung der mathematischen Termini in physikalische Begriffe vorgenommen, um verständlich zu machen, was unter so schwierigen Begriffen wie

zu verstehen ist. Natürlich geht ihr Artikel über eine Übersetzung weit hinaus, denn immerhin geht es um eine tiefliegende Dualität zwischen bestimmten Theorien. (In Frenkels Artikel werden übrigens mehrere „Dualitäten“ angesprochen, die alle für sich genommen überaus komplex und reichhaltig sind) 
Da es um Stringtheorie geht, kommen zwangläufig Begriffe wie A-Branes oder B-Branes vor, etwas, das viele Mathematiker nicht so gut kennen, dafür aber Stringtheoretiker umso besser.

Auffallend ist, dass Frenkels bisheriger Zugang über Konforme Blöcke und die Virasoro-Algebra am „kritischen Level“ nur kurz erwähnt wird. Ist das ein Zeichen dafür, dass dieser Zugang nicht sinnvoll war? Oder hat er sich das für einen späteren Artikel aufgehoben?

Mehr dazu in den nächsten Wochen.

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Denis Guedj gestorben

Posted by Modulix - April 30, 2010

Gestern (also  am 29.04.10) war in der Süddeutschen Zeitung ein Nachruf auf den Mathematiker Denis Guedj zu finden.

Vielleicht sollte ich endlich einmal seinen Roman „Das Theorem des Papageis“ lesen.

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Numb3rs: Die sechste Staffel im deutschen Fernsehen

Posted by Modulix - März 25, 2010

Heute wurde auf Kabel 1 die erste Folge der 6. Staffel von „Numb3rs“ ausgestrahlt.

Die Serie folgt inzwischen dem Konzept, durch Aneinanderreihung bestimmter Begriffe und Weisheiten so etwas wie Tiefgang zu simulieren – kurz gesagt: Man kann die Folge durchaus kritisch sehen.

Andererseits: In welcher Prime-Time-Serie wird so unterhaltsam über Mathematik, Paradoxa oder Problemlösungsfragen diskutiert? Allein deswegen ist die Serie großartig.

Ein wichtiger Bezugspunkt der Folge war das „Unexpected Hanging“-Paradox, also das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung.

Auf der eigens zu der Serie eingerichteten Wolfram-Seite finden sich noch weitere interessante Links zu dem Thema sowie zu den weiteren Folgen.

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John T. Tate bekommt den Abelpreis

Posted by Modulix - März 24, 2010

Der „Erfinder“ des Adelrings bekommt den Abelpreis: John T. Tate

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