Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for the ‘G8-Themen’ Category

Fragen rund um das neu eingeführte achtjährige Gymnasium (in Bayern)

Mobiles Mathematiklabor auch dieses Jahr

Posted by Modulix - Mai 31, 2015

Das Mobile Mathematiklabor wird auch dieses Jahr wieder stattfinden und

zwar am 13.06.2015.

Die Besonderheit besteht darin, dass die Organisation ein P-Seminar des Maria-Theresia-Gymnasiums

aus München übernommen hat.

Es wird interessant, wie das verlaufen wird!

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Das erste Mathe-Abitur des G8 in Bayern (I)

Posted by Modulix - Mai 26, 2011

Am 20. Mai, also ziemlich genau vor einer Woche wurde das erste Mathematik-Abitur des achtjährigen Gymnasiums geschrieben.

Interessant an diesem Mathe-Abitur war, dass das Schlagwort von der neuen „Aufgabenkultur“ inzwischen Gestalt in Form bestimmter Aufgaben angenommen hat , die sich deutlich vom bisherigen G9-Abi unterscheiden.

Das schlägt sich insbesondere im Analysis-Teil (der hinsichtlich Punkte-Gewichtung die Hälfte der Note ausmacht) und im Geometrie-Teil nieder. Der Stochastik-Teil ist eher durch Standard-Aufgaben geprägt.

Insbesondere der Analysis-Teil ist besonders interessant:

Er beginnt mit ein paar Einstiegsaufgaben, die im Grunde nicht sehr schwer sind, aber doch grundlegendes Verständnis abfragen. Typisch ist dabei folgende Aufgabe: (Aufgabe 4  aus Aufgabengruppe II, Analysis Teil I)

„Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge \mathbb{R}\setminus\{0\} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y =2 als Asymptote besitzt und in x =-1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.“

Gerade diese Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler, etwas selbst zu erstellen, freilich nach bestimmten Vorgaben, aber sie sollen unter Verwendung eines gewissen Repertoires an Kenntnissen eine Funktion basteln, die den Forderungen genügt. Es geht hier also gerade nicht darum, ein Kalkül  blind abzuspulen, sondern ein bisschen nachzudenken. Außerdem gibt es im Prinzip unendlich viele Lösungen.

Eine Lösung wäre übrigens: f(x)=\frac{2(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}.

Im Bereich Geometrie konnte man (wie auch in den anderen beiden Bereichen Analysis und Stochastik)  aus zwei Aufganegruppen wählen, die nicht ganz einfach waren, aber schon den Weg zu anderen Aufgabenformen weisen und deshalb von einigen Schülern als recht schwer empfunden werden. Das liegt daran, dass nicht so sehr das mühsame Gleichungslösen im Vordergrund steht, sondern eine auf elementargeometrische Einsichten abzielende Aufgabenstellung  favorisiert wird.

Ein Beispiel (Aufgabe b aus Geometrie Aufgabengruppe II):

Ein Dreieeck ABC sei rechtwinklig mit Hyptenuse [AB].

„Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B.durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise“

Hier muss also etwas beschrieben werden. Hier geht es um „Kongruenz„, ein Begriff der zwar grundlegend ist, den viele Schüler aber zuletzt in der 7. Klasse gehört haben könnten. Dass es um die Rotation der beiden Dreiecke geht, die im Thaleskreis über der Hypotenuse [AB] liegen und die Maße des Ausgangsdreiecks ABC haben, zielt auf die Elementargeometrie ab.

Die Bsteimmung der Höhe kann über ähnliche Dreiecke oder über die Flächenformel: A=1/2 ab=1/2ch bestimmt werden.

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Lehrplan 10. Klasse 8-jähriges Gymnasium (I)

Posted by Modulix - Dezember 1, 2008

Obwohl es eine KMK (=Kultusministerkonferenz) gibt (nebenbei bemerkt: mit einer recht schön gemachten Internetseite), auf der (angefangen bei periodischen Sitzungen hin zur Ausarbeitung von Bildungssstandards) vieles besprochen und beschlossen wird, sind die  Lehr- oder (wie es etwa in Baden-Württemberg heißt) Bildungspläne doch recht verschieden.

Eines allerdings scheint einheitlich zu sein: Das 10. Schuljahr Gymnasium ist das Schuljahr der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen. Sonst weichen die Lehrpläne voneinander ab, meistens nicht wesentlich, aber immer doch so, dass ein einheitlicher Überblick über alle Lehrpläne aller 16 Bundesländer eigentlich unmöglich ist. Daher werde ich mich in erster Linie an den Lehrplan des bayerischen Gymnasiums halten.

I. Vorbemerkung

II. Inhalte des Lehrplans

III. Kommentare zum Lehrplan

IV. Ein paar leichte Beispielaufgaben

V. Lösungen der Aufgaben

I. Vorbemerkung

Der Mathematik-Lehrplan der 10. Klasse im 8-jährigen Gymnasium (kurz G8) in Bayern unterscheidet sich gar nicht so wesentlich vom Lehrplan für das 9-jährige Gymnasium (G9). Es kommen wieder Kreis und Kugel vor, Sinus und Kosinus sind Themen (allerdings weniger als im G9, weil Sinus und Kosinus schon in der 9. Klasse (G 8 ) eingeführt wurden) und das wichtige Thema Exponential- und Logarithmusfunktion wird intensiv behandelt. Dazu gestoßen ist die Funktionenlehre, auf die dann in der 11. Klasse sehr intensiv aufgebaut werden wird.

II. Inhalte des Lehrplans

Der Lehrplan für die 10. Klasse G8 gliedert sich folgendermaßen:

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Potenzen und Wurzeln (9. Klasse G8): Rationalmachen des Nenners

Posted by Modulix - Oktober 24, 2007

In der 9. Klasse (G8-Bayern)  werden bereits Potenzen mit rationalen Exponenten behandelt, also Ausdrücke der Form:

5^{\frac{3}{4}}.

Eines der klassischen Themen ist dabei das Rationalmachen des Nenners bei komplizierten Ausdrücken. Das geschieht durch geeignetes Erweitern. Hier ein Beispiel:

\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{5\cdot\sqrt{7}}{7}=\frac{5}{7}\cdot\sqrt{7}

Für Schüler ist es aber schwieriger, wenn man kompliziertere Exponenten hat:

\frac{5}{7^{\frac{3}{2}}}.

Das geeignete Rezept dafür ist folgendes: Man erweitere immer so, dass die Exponenten im Nenner sich zu einer natürlichen Zahl ergänzen:

\frac{5}{7^{\frac{3}{2}}}=\frac{5\cdot7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}\cdot7^{\frac{1}{2}}}=\frac{5\cdot7^{\frac{1}{2}}}{7^{2}}=\frac{5}{49}\cdot\sqrt{7}.

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Zehnerpotenzen

Posted by Modulix - Oktober 23, 2007

Ein im Grunde recht simples Thema sind die Zehnerpotenzen.

Im Lehrplan (G9) der bayerischen Gymnasien wird das in der 10. Klasse behandelt, im G8-Lehrplan stößt man darauf bereits in der 8. Klasse.

Die Zehnerpotenzen sind im Dezimalsystem  naturgemäß besonders leicht zu handhaben, aber trotzdem ist es aufallend, wie schwer sich die Schüler doch damit tun.

Ich habe heute einmal die Aufstellung aller Bezeichnungen für Zehnerpotenzen aufgeführt und noch ein paar Beispiele mit den Schülern diskutiert, weshalb es sinnvoll und praktisch ist, damit umgehen zu können.

Wer z.B. weiß schon so genau, was unter dem Hype Zauberwort „Nano“ genau zu verstehen ist?

Schülerinnen und Schüler (Alter etwa 16 Jahre) aus dem Gymnasium sollten das eigentlich wissen.

Wer diese Bezeichungen kennt, kann sich überlegen, ob der Ausdruck:

„Schneid‘ mir mal eine ein Attoparsec dicke Brotscheibe ab!“ einen Sinn ergibt.

(1 Parsec = 3,09 1013 km)

Potenz

Bezeichnung Vorsatz   Potenz Bezeichnung Vorsatz
10-24 Yocto y   101 Deka d
10-21 Zepto z   102 Hekto h
10-18 Atto a   103 Kilo k
10-15 Femto f   106 Mega M
10-12 Piko p   109 Giga G
10-9 Nano n   1012 Tera T
10-6 Mikro μ   1015 Peta P
10-3 Milli M   1018 Exa E
10-2 Zenti C   1021 Zetta Z
10-1 Dezi D   1024  Yotta Y
100            

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Die Mitternachtsformel: Lehrplan 9. Klasse (II)

Posted by Modulix - September 7, 2007

Mitternachtsfomel – das klingt nach Romantik, nach Nächte unterm Sternenzelt …. aber eigentlich heißt diese Formel nur so, weil Lehrer erwarten, dass Schüler diese Formel zu jeder Tages- und Nachtzeit beherrschen sollten. So nüchtern ist die Wahrheit, so profan und wenig reizvoll, dass man sich diese Formel also einfach schnell einbimsen und anschließend hoffentlich dann auch anwenden könnte. Aber tatsächlich hat diese Formel ihren Reiz in vielerlei Hinsicht. Sie ist so etwas wie eine erste Anmutung über das intensive Wechselspiel zwischen Algebra und Geometrie.

Es geht um folgendes: Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

ax^{2}+bx+c=0 in der Unbekannten x. Es gibt zu dieser Gleichung eine, zwei oder keine Lösung (in den reellen Zahlen). Die Formel für die Lösungen lautet:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Von ihrem Vorzeichen bzw. Wert hängt es ab, wie viele Lösungen existieren. Genauer:

Gilt b^{2}-4ac>0, dann folgt: Es gibt zwei Lösungen x_{1,2},

gilt b^{2}-4ac=0, dann folgt: Es gibt eine Lösung x und die lautet: x=-\frac{b}{2a},

gilt b^{2}-4ac<0, dann steht unter der Wurzel eine negative Zahl. In den reellen Zahlen gibt es keine Lösungen für Gleichungen der Form z^{2}=-1, also gibt es keine Lösung.

Geometrisch bedeutet das, dass der Graph der Funktion f(x)=ax^{2}+bx+c in Abhängigkeit der Diskriminante zwei, eine oder keine Nullstellen hat.

Beispiel:

2x^{2}-2x-12=0:

Die Lösungen lauten: x_{1,2}=\frac{+2\pm\sqrt{4-4\cdot 2\cdot(-12)}}{2\cdot2}=\frac{2\pm\sqrt{100}}{4}=\frac{2\pm 10}{4}.

Also erhalten wir:

x_{1}=3 und x_{2}=-2.

Prominentes Beispiel, der Goldene Schnitt:

Die Nullstellen des Polynoms x^{2}+x-1=0 ergeben sich gemäß der „Mitternachtsformel“: x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.

Der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Teilverhältnis. Ein Strecke wird im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt, wenn gilt: Die kleine Strecke verhält sich zur großen wie die große zur gesamten Strecke.

\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}, es folgt: x^{2}+x-1=0. Das ist das Polynom von oben.

Eine der beiden Lösungen ist positiv, die andere negativ. Der goldene Schnitt ist die positive Lösung.

Herleitung der Mitternachtformel:

Die Herleitung erfolgt mit quadratischem Ergänzen, d.h. wir basteln zuerst eine binomische Formel und müssen dies wieder zurecht biegen, so dass die Gleichung, von der wir ausgegangen sind, wieder stimmt:

Wir starten mit einer quadratischen Gleichung (wobei die Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sein sollen)

ax^{2}+bx+c=0

Ausklammern von a:

a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c=0

In der Klammer steht ein Teil einer binomischen Formel. Das wird jetzt noch einmal hervorgehoben, indem mit 2 multipliziert und gleich wieder dividiert wird:

a(x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x)+c=0

Wer es noch nicht erkennt, möge folgende Darstellung betrachten:

a(x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+\underbrace{(\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}}_{=0})+c=0

Wir haben den Term (\frac{b}{2a})^{2} dazu addiert und gleich wieder abgezogen. Jetzt wird aber klar erkennbar, dass die ersten drei Terme in der Klammer sich gemäß der binomischen Formel zusammenfassen lassen:

a(\underbrace{(x+\frac{b}{2a})^{2}}_{=x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^{2}}-(\frac{b}{2a})^{2})+c=0

Jetzt lösen wir die äußere Klammer auf:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}-a\cdot(\frac{b}{2a})^{2}+c=0

Wir führen jetzt die Quadrierung von (\frac{b}{2a})^{2} durch:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}-a\cdot\frac{b^{2}}{4a^{2}}+c=0

Kürzen:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c=0

Wir wollen jetzt nach x auflösen. Wir bringen den Term, in dem die Unbekannte x nicht vorkommt, auf die andere Seite:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a}-c

Jetzt teilen wir durch a:

(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}

Die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner:

(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

Wir ziehen die Wurzel. Bekanntlich gibt es dann zwei Lösungen, die wir mit dem plus/minus-Zeichen angeben.

x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

Den Term ohne x auf der linken Seite nach rechts gebracht.

x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

Im Nenner unter der Wurzel steht ein qudratischer Ausdruck, also können wir die Wurzel ziehen:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Jetzt noch auf einen Bruchstrich gebracht ergibt das die Mitternachtsformel:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

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Lehrplan Mathematik 9. Klasse (I)

Posted by Modulix - September 3, 2007

Bildung ist in Deutschland bekanntlich Ländersache. Daher gibt es für jede Schulform 16 Lehrpläne, die wiederum je nach unterschiedlichen Zweigen in den jeweiligen Schulformen (naturwissenschaftlich, oder sprachlich usw.) unterteilt sind.

Vieles zu dem Thema kann auf dem Bildungsserver nachgelesen werden.

Da aber in Bayern und Baden-Württemberg das neue Schuljahr bald beginnen wird und in anderen Bundesländern bereits begonnen hat, ein paar Worte zu den Lehrplänen der 9. Klasse:

Die inhaltlichen Themen in zumindest mir zugänglichen Lehrplänen lauten:

Einführung der reellen Zahlen: Die 9. Klasse ist das Jahr der dritten wichtigen Zahlbereichserweiterung. Nach der Erweiterung der natürlichen Zahlen \mathbb{N} auf ganze Zahlen \mathbb{Z} und anschließend auf rationale Zahlen (=Bruchzahlen) \mathbb{Q} kommt der nächste große Schritt zu den reellen Zahlen \mathbb{R}. Die Notwendigkeit der Erweiterung ergibt sich aus der geometrischen Tatsache, dass schon die Diagonale im (Einheits-)Quadrat keine rationale Zahl sein kann. Das heißt, dass die Irrationalität von Wurzel 2 (\sqrt{2}) gezeigt wird. Eine typische Charakterisierung von irrationalen Zahlen ist auch die folgende: Eine reelle Zahl ist genau dann irrational, wenn ihre Dezimalentwicklung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Es geht um Gleichungen der Form x^{2}=1 oder x^{2}+x-1=0 und so weiter.

Die gerne auch als Mitternachtsformel bezeichnete Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 wird hergeleitet:

x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

In Bayern werden die Binomischen Formeln erst in der 9. Klasse eingeführt (man kann sie, wie bisher, schon in der 7. Klasse einführen. Sie fristen dort aber ein eher ungebrauchtes Daein. In der 9. Klasse werden sie angewendet, um die oben genannte Formel herzuleiten).

Potenzen auch mit negativen Exponenten  (Ausnahme: In Bayern werden schon rationale Exponenten in der 9. Klasse behandelt, also Ausdrücke der Form: 2^{\frac{2}{3}}, denn in Bayern wurden bereits in der 8. Klasse negative Exponenten eingeführt.)

Pythagoras Den Klassiker der Geometrie lernen die Schüler in der 9. Klasse kennen.

Ähnlichkeit von Dreiecken und geometrischen Figuren allgemein wurde in Bayern schon in der 8. Klasse behandelt, ist aber in anderen Bundesländern ein großes Thema in der 9. Klasse.

Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Das ist eine große Neuheit gegenüber dem Lehrplan für das neunjährige Gymnasium. Das gesamte Thema Stochastik ist aber jetzt in allen Lehrplänen in Deutschland gegenstand des Unterrichts. Bisher kannten die Schüler verhältnismäßig leichte Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu Würfeln, oder eine gerade Augenzahl zu würfeln und ähnliches). Jetzt aber geht es um zusammengesetzte Zufallsexperimente. Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit, wird bei dreimaligem Würfeln zuerst eine gerade, dann eine ungerade, und anschließend eine durch 3 teilbare Zahl gewürfelt?

Trigonometrie Auch das ist eine Neuheit: In Bayern (aber auch z.B. in Hessen) wird die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck schon in der 9. Klasse durchgenommen. Das heißt: Begriffe wie sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} und ihre zigfachen Anwendungen werden jetzt ein Schuljahr früher als bisher behandelt.

Raumgeometrie Hier geht es um das Volumen und die Oberfläche von Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel.

Fortsetzung folgt…

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Das G8 und der Pythagoras

Posted by Modulix - Juli 26, 2007

Mit dem G8 (so die Kurzbezeichung in Bayern für das achtjährige Gymnasium) ändert sich der Lehrplan zum Teil erheblich. In der 9. Klasse (in die der erste Jahrgang des G8 im September kommen wird) wird sich auch manches ändern, aber der Satz des Pythagoras als eines der zentralen Theoreme wird bleiben.

Gemäß dem bisherigen Lehrplan war es naheliegend, den Satz des Pythagoras mit den Ähnlichkeitssätzen zu beweisen, weil das vorherrschende Thema der Geometrie in der 9. Klasse zentrische Streckung und ähnliche Figuren waren.

Der Beweis war an sich eine leichte Übung, die zahlreichen anderen Beweisvarianten für den Pythagoras wurden freilich in der Praxis entweder gar nicht erwähnt oder nur als Fußnote behandelt. Aber gerade für den Pythagoras gibt es viel einfachere Beweise, die im G8 m.E. endlich zur Geltung kommen könnten. Die zentrische Streckung wird bereits in der 8. Klasse (G8-Lehrplan) behandelt, auf diese kann man also nicht mehr so unmittelbar aufbauen wie früher.

Kürzlich ist mir das neue Schulbuch vom Cornelsen-Verlag („Fokus Mathematik 9“) in die Hand gefallen.

Die Autoren nennen den bekannten Beweis von Garfield. Der Trick besteht bei diesem Beweis darin, die Fläche eines Trapezes auf zwei verschiedene Weisen auszurechnen und die Ergebnisse gleichzusetzen, dann ergibt sich die bekannten Formel:

Garfieldbeweis  A =  Fläche des Trapezes gemäß der Flächenformel undA =  Fläche von zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken und einem dritten rechtwinkligen Dreieck 

Mir ist allerdings nicht klar, warum die Autoren des Buches gerade diesen Beweis ausgesucht haben. Zwar werden noch andere etwas später erwähnt, aber dieser Beweis ist nicht sonderlich ingeniös, er ist außerdem eine Art „halbe Kopie“ des viel bekannteren Ergänzungsbeweises (dessen entscheidende Figur unten abgebildet ist) und er lässt kein Konzept erkennen.

Die einzige Erklärung, die ich habe, ist die, dass man diesen Beweis narrativ verknüpfen kann. Denn man kann erzählen, dass ein amerikansicher Präsident diesen Beweis erstellt, er ist also mit einem Namen verknüpft. Aber ist das an dieser Stelle wirklich beabsichtigt? Immerhin hat der Satz bereits einen Namen.

Hier ist die entscheidende Figur für den klassischen Beweis:

Pythagoras

Man erkennt leicht, dass es sich um ein großes Quadrat mit vier kongruenten rechtwinkilgen Dreiecken und einem Quadrat der Seitenlänge c handelt.

Wegen (a+b)^{2} = 4\cdot \frac{a\cdot b}{2} + c^{2} (Berechnung der Fläche des großen Dreiecks auf zwei verschiedene Weisen: einerseits als Produkt aus den Seitenlängen, andererseits  zusammen gesetzt aus 4 Dreiecken und einem kleinen Quadrat) folgt die bekannte Gleichung.

Ich bin gespannt auf die anderen Lehrbücher.

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