Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

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CAS – die heimliche Revolution im Mathematikunterricht?

Posted by Modulix - Juli 9, 2013

Die Computeralgebra-Systeme beginnen, wenn auch schleichend, die Schulen zu erobern.

Das Erstaunliche daran: Obwohl dies den Unterricht, die Herangehensweise an Mathematik, die Einstellung zur Mathematik und langfristig natürlich auch die zu vermittelnden Inhalte nachhaltig verändern wird, hört man kaum mehr als einen leisen Wind durch die Publikationslandschaft wehen.

Selbst im zentralen Fachorgan der deutschen Mathematikdidaktiker (dem Journal  für Mathematik-Didaktik) ist nur selten ein Artikel zum Thema zu finden.

Gibt es hier gar keinen Gesprächsbedarf, keine Frage nach kognitiver Entwicklung durch Anwendung neuer Werkzeuge, keine Frage nach „Kompetenzen“, die dabei entweder besonders gefördert werden können oder womöglich Gefahr laufen, vernachlässigt zu werden?

Wie kann es sein, dass es unzählige Arbeiten über die richtige Vermittlung des Bruchrechnens gibt,  aber die Einführung von CAS im Mathematikunterricht offenbar in den Niederungen allgemeinen Verwaltungshandelns stattfindet und nur selten fachdidaktisch begleitet wird? (wie z.B. am Lehrstuhl von Prof. Weigand)

Zwar werden viele Vorteile der CAS-Anwendung genannt, die offenbar in kleineren Untersuchungen empirisch bestätigt wurden. Aber ist dies schon die große verlässliche konzeptionelle Absicherung von fachdidaktischer Seite?

Oder gibt es Gefahren des CAS-Einsatzes, die man unbedingt vermeiden sollte?

Zwar ist an diesen und jenen Stellen manches zu lesen, aber der große Wurf scheint zu fehlen.

Ein Blick in die Historie

Wie war das eigentlich mit den Hilfsmitteln:

Zuerst die Logarithmentafel

Dann der Rechenschieber (in den 50ern/60ern)

Dann (der große Bruch): Der Taschenrechner (70er)

Bald darauf der Grafikfähige Taschenrechner (90er?)

Und jetzt: der CAS-Rechner (Nullerjahre des neuen Jahrtausends)

Bild

Und nun: Das mobile Endgerät (z.B. Tablet oder Notebook) mit installierter CAS-Software. (heute)

Wirft man einen Blick in die Neuerungen des Bayerischen Abiturs, dann schält sich folgendes  Szenario heraus: Es wird im Unterrichtsgeschehen Abschnitte geben, in welchen das einfache „handwerkliche“ Rechnen eingeübt wird, aber sobald Modellierung gefragt ist und komplexere Aufgaben gestellt werden, wird der CAS-Rechner zum Einsatz kommen.

So könnte den Bedürfnissen aller Seiten Rechnung getragen werden.

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Ein Blick auf Geogebra 4.2 CAS

Posted by Modulix - März 31, 2013

Geogebra erfreut sich großer Beliebtheit, weil es einfach zu bedienen, sehr leistungsstark

und in mannigfacher Weise einsetzbar ist.

Gerade in der Schule kann man z.B.

(a) den Geometrie-Stoff wesentlich ansprechender gestalten

(b) Funktionen darstellen, beliebig verändern etc.

(c) Stochastik attraktiver vermitteln.


Mit der Geogebra-Version 4.2 soll nun auch CAS (=Computeralgebra) eingeführt werden,

eine eigentlich sehr erfreuliche Entwicklung,

weil der systematische Einsatz von CAS in der Schule

fast ausschließlich mit teuren „CAS-Rechnern“ (vor allem von Texas Instruments und von Casio) gestaltet wird.

Ein paar erste kleine Rechnungen mit Geogebra 4.2 zeigen, dass das CAS schön läuft,

aber schon bei etwas anspruchvolleren Aufgaben (siehe Beispiel unten)

kann das CAS von Geogebra keine Antwort liefern.

Das ist etwas unverständlich, weil

(a) die kommerziellen Rechner solche Aufgaben sofort lösen können

(b) etwa die freie Software MAXIMA solche Aufgaben auch ohne Probleme löst.

Warum wurde hier nicht einfach auf das Erfolgsmodell Maxima zurückgegriffen? Maxima ist in Lisp programmiert,

also in keiner exotischen Programmiersprache, die etwa nicht zugänglich wäre.

Vielleicht wird es noch besser mit der CAS-Variante von Geogebra!

Hier das Beispiel:

Gesucht ist der Wert von a, so dass die Funktion

f_{a}(x)=a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x

auf der x-Achse ihr Minimum hat.

Es geht also um die Frage, zwei Gleichungen zu lösen, nämlich einmal die Nullstellengleichung:

a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x=0 und die Gleichung für die Ableitung:

\frac{d}{dx}(a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x)=0.

Lösung zu Fuß:

Mit Papier und Bleistift bewaffnet würde man aus letzter Gleichung gewinnen: e^{-\frac{1}{2}x}=\frac{2}{a}

Dies nun in die erste Gleichung eingesetzt erhielte man: a\cdot\frac{2}{a}+x=0, folglich x=-2 und dies nun in die

Gleichung für a eingesetzt: e^{1}=\frac{2}{a}, also a=2/e

Lösung mit Maxima:

In Maxima lautet die Eingabe dafür:

>solve([a*exp(-1/2*x)+x=0,diff(a*exp(-1/2*x)+x,x)=0],[a,x])

Man erhält nach Sekundenbruchteilen:

[a = 2 E -1  , x = – 2]

Hier ist übrigens der Graph derc Lösungsfunktion:

funktion

Die Nicht-Lösung mit Geogebra 4.2:

Eingegeben wird:

löse[{a*exp(-1/2*x)+x=0,Ableitung(a*exp(-1/2*x)+x,x)},{x,a}]

Es kommt die Antwort:

Die Berechnung dauert zu lange und wurde abgebrochen.


Hier könnten Einstellungsprobleme vorliegen, zugegeben,

aber allein die Bestimmung der Ableitung der oben genannten

Funktion ist gelinde gesagt, merkwürdig:

Nach Eingabe von

Ableitung(a*exp(-1/2*x)+x,x)

Kommt die Antwort:

\frac{\sqrt{e^{x}}-\frac{1}{2}ln(e)a}{\sqrt{e^{x}}}.

Das ist zwar algebraisch richtig, aber warum kann an dieser Stelle Geogebra nicht ln(e) berechnen??

Hier gibt es noch Nachbesserungsbedarf!

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