Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for the ‘Schulmathematik’ Category

Mathematik in Verbindung mit Unterricht und Schule

Mobiles Mathematiklabor auch dieses Jahr

Posted by Modulix - Mai 31, 2015

Das Mobile Mathematiklabor wird auch dieses Jahr wieder stattfinden und

zwar am 13.06.2015.

Die Besonderheit besteht darin, dass die Organisation ein P-Seminar des Maria-Theresia-Gymnasiums

aus München übernommen hat.

Es wird interessant, wie das verlaufen wird!

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MML am Mathematischen Institut der Uni-München

Posted by Modulix - Juni 15, 2014

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CAS – die heimliche Revolution im Mathematikunterricht?

Posted by Modulix - Juli 9, 2013

Die Computeralgebra-Systeme beginnen, wenn auch schleichend, die Schulen zu erobern.

Das Erstaunliche daran: Obwohl dies den Unterricht, die Herangehensweise an Mathematik, die Einstellung zur Mathematik und langfristig natürlich auch die zu vermittelnden Inhalte nachhaltig verändern wird, hört man kaum mehr als einen leisen Wind durch die Publikationslandschaft wehen.

Selbst im zentralen Fachorgan der deutschen Mathematikdidaktiker (dem Journal  für Mathematik-Didaktik) ist nur selten ein Artikel zum Thema zu finden.

Gibt es hier gar keinen Gesprächsbedarf, keine Frage nach kognitiver Entwicklung durch Anwendung neuer Werkzeuge, keine Frage nach „Kompetenzen“, die dabei entweder besonders gefördert werden können oder womöglich Gefahr laufen, vernachlässigt zu werden?

Wie kann es sein, dass es unzählige Arbeiten über die richtige Vermittlung des Bruchrechnens gibt,  aber die Einführung von CAS im Mathematikunterricht offenbar in den Niederungen allgemeinen Verwaltungshandelns stattfindet und nur selten fachdidaktisch begleitet wird? (wie z.B. am Lehrstuhl von Prof. Weigand)

Zwar werden viele Vorteile der CAS-Anwendung genannt, die offenbar in kleineren Untersuchungen empirisch bestätigt wurden. Aber ist dies schon die große verlässliche konzeptionelle Absicherung von fachdidaktischer Seite?

Oder gibt es Gefahren des CAS-Einsatzes, die man unbedingt vermeiden sollte?

Zwar ist an diesen und jenen Stellen manches zu lesen, aber der große Wurf scheint zu fehlen.

Ein Blick in die Historie

Wie war das eigentlich mit den Hilfsmitteln:

Zuerst die Logarithmentafel

Dann der Rechenschieber (in den 50ern/60ern)

Dann (der große Bruch): Der Taschenrechner (70er)

Bald darauf der Grafikfähige Taschenrechner (90er?)

Und jetzt: der CAS-Rechner (Nullerjahre des neuen Jahrtausends)

Bild

Und nun: Das mobile Endgerät (z.B. Tablet oder Notebook) mit installierter CAS-Software. (heute)

Wirft man einen Blick in die Neuerungen des Bayerischen Abiturs, dann schält sich folgendes  Szenario heraus: Es wird im Unterrichtsgeschehen Abschnitte geben, in welchen das einfache „handwerkliche“ Rechnen eingeübt wird, aber sobald Modellierung gefragt ist und komplexere Aufgaben gestellt werden, wird der CAS-Rechner zum Einsatz kommen.

So könnte den Bedürfnissen aller Seiten Rechnung getragen werden.

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Ein Blick auf Geogebra 4.2 CAS

Posted by Modulix - März 31, 2013

Geogebra erfreut sich großer Beliebtheit, weil es einfach zu bedienen, sehr leistungsstark

und in mannigfacher Weise einsetzbar ist.

Gerade in der Schule kann man z.B.

(a) den Geometrie-Stoff wesentlich ansprechender gestalten

(b) Funktionen darstellen, beliebig verändern etc.

(c) Stochastik attraktiver vermitteln.


Mit der Geogebra-Version 4.2 soll nun auch CAS (=Computeralgebra) eingeführt werden,

eine eigentlich sehr erfreuliche Entwicklung,

weil der systematische Einsatz von CAS in der Schule

fast ausschließlich mit teuren „CAS-Rechnern“ (vor allem von Texas Instruments und von Casio) gestaltet wird.

Ein paar erste kleine Rechnungen mit Geogebra 4.2 zeigen, dass das CAS schön läuft,

aber schon bei etwas anspruchvolleren Aufgaben (siehe Beispiel unten)

kann das CAS von Geogebra keine Antwort liefern.

Das ist etwas unverständlich, weil

(a) die kommerziellen Rechner solche Aufgaben sofort lösen können

(b) etwa die freie Software MAXIMA solche Aufgaben auch ohne Probleme löst.

Warum wurde hier nicht einfach auf das Erfolgsmodell Maxima zurückgegriffen? Maxima ist in Lisp programmiert,

also in keiner exotischen Programmiersprache, die etwa nicht zugänglich wäre.

Vielleicht wird es noch besser mit der CAS-Variante von Geogebra!

Hier das Beispiel:

Gesucht ist der Wert von a, so dass die Funktion

f_{a}(x)=a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x

auf der x-Achse ihr Minimum hat.

Es geht also um die Frage, zwei Gleichungen zu lösen, nämlich einmal die Nullstellengleichung:

a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x=0 und die Gleichung für die Ableitung:

\frac{d}{dx}(a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x)=0.

Lösung zu Fuß:

Mit Papier und Bleistift bewaffnet würde man aus letzter Gleichung gewinnen: e^{-\frac{1}{2}x}=\frac{2}{a}

Dies nun in die erste Gleichung eingesetzt erhielte man: a\cdot\frac{2}{a}+x=0, folglich x=-2 und dies nun in die

Gleichung für a eingesetzt: e^{1}=\frac{2}{a}, also a=2/e

Lösung mit Maxima:

In Maxima lautet die Eingabe dafür:

>solve([a*exp(-1/2*x)+x=0,diff(a*exp(-1/2*x)+x,x)=0],[a,x])

Man erhält nach Sekundenbruchteilen:

[a = 2 E -1  , x = – 2]

Hier ist übrigens der Graph derc Lösungsfunktion:

funktion

Die Nicht-Lösung mit Geogebra 4.2:

Eingegeben wird:

löse[{a*exp(-1/2*x)+x=0,Ableitung(a*exp(-1/2*x)+x,x)},{x,a}]

Es kommt die Antwort:

Die Berechnung dauert zu lange und wurde abgebrochen.


Hier könnten Einstellungsprobleme vorliegen, zugegeben,

aber allein die Bestimmung der Ableitung der oben genannten

Funktion ist gelinde gesagt, merkwürdig:

Nach Eingabe von

Ableitung(a*exp(-1/2*x)+x,x)

Kommt die Antwort:

\frac{\sqrt{e^{x}}-\frac{1}{2}ln(e)a}{\sqrt{e^{x}}}.

Das ist zwar algebraisch richtig, aber warum kann an dieser Stelle Geogebra nicht ln(e) berechnen??

Hier gibt es noch Nachbesserungsbedarf!

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Das erste Mathe-Abitur des G8 in Bayern (I)

Posted by Modulix - Mai 26, 2011

Am 20. Mai, also ziemlich genau vor einer Woche wurde das erste Mathematik-Abitur des achtjährigen Gymnasiums geschrieben.

Interessant an diesem Mathe-Abitur war, dass das Schlagwort von der neuen „Aufgabenkultur“ inzwischen Gestalt in Form bestimmter Aufgaben angenommen hat , die sich deutlich vom bisherigen G9-Abi unterscheiden.

Das schlägt sich insbesondere im Analysis-Teil (der hinsichtlich Punkte-Gewichtung die Hälfte der Note ausmacht) und im Geometrie-Teil nieder. Der Stochastik-Teil ist eher durch Standard-Aufgaben geprägt.

Insbesondere der Analysis-Teil ist besonders interessant:

Er beginnt mit ein paar Einstiegsaufgaben, die im Grunde nicht sehr schwer sind, aber doch grundlegendes Verständnis abfragen. Typisch ist dabei folgende Aufgabe: (Aufgabe 4  aus Aufgabengruppe II, Analysis Teil I)

„Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge \mathbb{R}\setminus\{0\} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y =2 als Asymptote besitzt und in x =-1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.“

Gerade diese Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler, etwas selbst zu erstellen, freilich nach bestimmten Vorgaben, aber sie sollen unter Verwendung eines gewissen Repertoires an Kenntnissen eine Funktion basteln, die den Forderungen genügt. Es geht hier also gerade nicht darum, ein Kalkül  blind abzuspulen, sondern ein bisschen nachzudenken. Außerdem gibt es im Prinzip unendlich viele Lösungen.

Eine Lösung wäre übrigens: f(x)=\frac{2(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}.

Im Bereich Geometrie konnte man (wie auch in den anderen beiden Bereichen Analysis und Stochastik)  aus zwei Aufganegruppen wählen, die nicht ganz einfach waren, aber schon den Weg zu anderen Aufgabenformen weisen und deshalb von einigen Schülern als recht schwer empfunden werden. Das liegt daran, dass nicht so sehr das mühsame Gleichungslösen im Vordergrund steht, sondern eine auf elementargeometrische Einsichten abzielende Aufgabenstellung  favorisiert wird.

Ein Beispiel (Aufgabe b aus Geometrie Aufgabengruppe II):

Ein Dreieeck ABC sei rechtwinklig mit Hyptenuse [AB].

„Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B.durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise“

Hier muss also etwas beschrieben werden. Hier geht es um „Kongruenz„, ein Begriff der zwar grundlegend ist, den viele Schüler aber zuletzt in der 7. Klasse gehört haben könnten. Dass es um die Rotation der beiden Dreiecke geht, die im Thaleskreis über der Hypotenuse [AB] liegen und die Maße des Ausgangsdreiecks ABC haben, zielt auf die Elementargeometrie ab.

Die Bsteimmung der Höhe kann über ähnliche Dreiecke oder über die Flächenformel: A=1/2 ab=1/2ch bestimmt werden.

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Die DMV-Tagung ab Montag in München

Posted by Modulix - März 5, 2010

Die Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung findet dieses Jahr in München statt. Sie wird als gemeinsame Tagung zusammen mit der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik durchgeführt.

Sie wird vom 08.03 bis 12. 03.10 stattfinden.

Man darf gespannt sein, ob und wie diese Tagung in der veröffentlichten Meinung zur Kenntnis genommne wird.

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Beweis, dass ein Euro gleich einem Cent ist

Posted by Modulix - Februar 22, 2010

Dieses Beispiel habe ich aus dem (allerdings mit Einschränkungen) recht unterhaltsamen Buch von Christian Constanda mit dem unorthodoxen Titel „Dude, Can You Count?„:

Behauptung:

1€ = 1ct

Beweis:

1€ = 100ct = 10ct x 10 ct = 0,1€ x 0,1€ = 0,01 € = 1 ct.

q.e.d.

Natürlich stimmt an dem Beweis etwas nicht! Das was nicht stimmt, kann als Anregung zur sorgfältigeren Behandlung von Einheiten sowohl im Mathe- als auch im Physikunterricht dienen.

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Nord-Süd-Abiturgefälle?

Posted by Modulix - Januar 7, 2010

Heute findet sich  in der Frankfurter Allgemeinen ein Artikel über eine empirische Vergleichsuntersuchung von zwei Abiturjahrgängen in verschiedenen Bundesländern. Es wurden die Länder Hamburg und Baden-Württemberg untersucht. Die Studie zeigt eindeutig, dass die süddeutschen Abiturienten in Mathematik leistungsfähiger sind als ihre Kollegen im hohen Norden.

Eigentlich könnte man vermuten, dass das keine Überraschung ist, nicht etwa weil die Hamburger Schulen schlechter sind, sondern weil der dortige Lehrplan möglicherweise andere Schwerpunkte setzt als der in Baden-Württemberg.

Tatsächlich findet sich auch kein Wort zu der Vergleichbarkeit der Abiturthemen in dem Artikel. Wir erfahren auch nicht, worin die Tests bestanden haben, welche Inhalte ausgewählt wurden und wie eng die gefragten Inhalte sich an das jeweilige Abiturniveau anlehnen.

Nur folgendes Zitat gibt Auskunft über diese Frage:

„Der Wissensstand der Abiturienten in Hamburg lag um rund ein bis zwei Schuljahre hinter dem der Abiturienten in Baden-Württemberg; mehr als die Hälfte von ihnen verfehlte ein Leistungsniveau, das nach Bewertung von Fachexperten von Abiturienten eingefordert werden kann.“

Welche „Fachexperten“ das sind, wird nicht weiter ausgeführt.

Die Autoren der Studie sind Ulrich Trautwein, Professor für Empirische Bildungsforschung in Tübingen und Marko Neumann, wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung.

Eigentlich kann man über die Ergebnisse erst dann urteilen, wenn man das Design der Tests, den die Schülerinnen und Schüler durchführen mussten, kennt. Dass darauf in dem Artikel nicht eingegangen wurde, ist allerdings auch aufschlussreich.

 

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