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Eine Gegenbeispiel in der Analysis

Posted by Modulix - Oktober 4, 2007

Es gibt reelle Funktionen, die nicht einmal stetig sind, aber deren Richtungsableitungen alle trotzdem existieren:

f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} für (x,y)\neq(0,0) und f(0,0)=0.

Dass diese Funktion im Punkt (0,0) nicht einmal stetig ist, kann man wie folgt zeigen:

Betrachten wir die Kurve y=x^{2}. Es gilt: f(x,x^{2})=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. Offensichtlich ist die Funktion demnach nicht stetig auf dieser Kurve, weil sie auf dieser Kurve den Wert 1/2, aber im Punkt (o,o) den Wert 0 hat.

Jetzt zu den Richtungsableitungen: Betrachten wir eine beliebige Richtung um den Punkt (0,0), also die Richtung (cos\alpha,sin\alpha) und stellen den Differenzenquotienten für diese Richtung auf:

\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)}{t}=\frac{1}{t}\cdot\frac{t^{2}\cos^{2}\alpha\cdot t\sin\alpha}{t^{4}cos^{4}\alpha+t^{2}\sin^{2}\alpha}

Wir kürzen: \frac{1}{t}\cdot\frac{\cos^{2}\alpha\cdot tsin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha}

Hier ist eine Grenzwertbildung ohne Probleme möglich:

\lim\frac{f(tcos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}.

An dem letzten Wert sieht man, dass noch eine Betrachtung notwendig ist, wenn $\sin\alpha=0$ (also auf den Koordinatenachsen selbst). Aber hier zeigt sich sofort:

\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{t^{5}}=0.

(Das Beispiel habe ich aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann).

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