Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for the ‘Beweise’ Category

Beweis, dass ein Euro gleich einem Cent ist

Posted by Modulix - Februar 22, 2010

Dieses Beispiel habe ich aus dem (allerdings mit Einschränkungen) recht unterhaltsamen Buch von Christian Constanda mit dem unorthodoxen Titel „Dude, Can You Count?„:

Behauptung:

1€ = 1ct

Beweis:

1€ = 100ct = 10ct x 10 ct = 0,1€ x 0,1€ = 0,01 € = 1 ct.

q.e.d.

Natürlich stimmt an dem Beweis etwas nicht! Das was nicht stimmt, kann als Anregung zur sorgfältigeren Behandlung von Einheiten sowohl im Mathe- als auch im Physikunterricht dienen.

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Pythagoras mit Vektoren

Posted by Modulix - Januar 29, 2008

Der Satz des Pythagoras schreibt sich in der Sprache der linearen Algebra wie folgt:

Seien v und w zwei Vektoren in einem euklidischen Vektorraum V, die orthogonal zueinander sind.

Dann folgt: |v|2 + |w|2=|v+w|2

vektoren1.jpg Der Beweis ist denkbar einfach, weil man in einem euklidischen Vektorraum das Skalarprodukt hat:

Das Skalarprodukt ist nach Voraussetzung (v und w orthogonal zueinander) für die beiden Vektoren gleich 0.

Die Norm der Vektoren ist über das Skalarprodukt definiert durch |v|2=<v,v>.

Daher folgt:

|v+w|2=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=

|v|2+2<v,w>+|w|2=|v|2+0+|w|2= |v|2+|w|2

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Warum Nullkommaneunperiode gleich Eins ist

Posted by Modulix - August 22, 2007

Immer wieder, insbesondere in der 6. Klasse, wird den Schülern beigebracht, dass gilt: 0,9999… = 1.

Hochtrabender kann man davon sprechen, dass die Dezimaldarstellung, so wie jede andere b-adische Darstellung, nicht eindeutig ist. Denn es gilt auch: 0,45999999…=0,46.

Ich lasse hier die übliche Schreibweise für Perioden, also 0,\overline{2}=0,2222.... weg, um nicht alle Rechnungen im Latex-Modus scheiben zu müssen.

Hier werden drei Argumente bzw. Beweise für diese Aussage vorgestellt:

Das klassische Argument:

So wird es gerne den 6.Klässlern erklärt (ob sie das verstehen, sei dahin gestellt):

(Gleichung 1) s=0,99999….

(Gleichung 2): 10*s=9,9999…

Jetzt rechnen wir 10*s – s = 9,99999… -0,9999….

Wir erhalten 9*s = 9, also ist s = 1

Das Analogie-Argument:

Man kann leicht ausrechnen: \frac{1}{9}=0,1111...

Außerdem folgt: \frac{2}{9}=0,222....

Damit kann man sagen: \frac{9}{9}=0,999..., aber \frac{9}{9}=1.

Das Argument mit der geometrischen Reihe:

Die Formel für die geometrische Reihe lautet:

1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Damit folgt:

x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}-1 = \frac{x}{1-x}

Nun gilt im Dezimalsystem

0,9999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+...=9\cdot(\frac{1}{10}+(\frac{1}{10})^{2}+(\frac{1}{10})^{3}+...)

Mit der geometrischen Reihe folgt dann:

0,9999... = 9\cdot\frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}

Eine kleine Rechnung der letzten Zeile liefert:

9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}=9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{\frac{9}{10}}= 1.

Übrigens: Auch für das Binärsystem gilt die Aussage: (0,11111…)2 = 1.

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Beweise zur Geometrischen Summenformel

Posted by Modulix - August 19, 2007

Eine der wichtigsten Reihen in der Analysis ist die geometrische Reihe:

\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Die Formel ist eine direkte Konsequenz aus der geometrischen Summenformel:

1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Dabei kann x eine beliebige Zahl (nur ungleich 1) sein (ja man kann dieser Formel sogar einen geeigneten Sinn geben, wenn x ein Operator in einem bestimmten Vektorraum ist, wobei x dann nicht die Identität sein darf). Jetzt ein paar Beweise:

Beweis 1 (Multiplikation):

Es werden die Terme 1+x+x^{2}+...+x^{n} und (1-x) multipliziert:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1+x+...+x^{n}-(x+x^{2}+...+x^{n+1})=1-x^{n+1}.

Wir haben also die Gleichung:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1-x^{n+1}. Dividieren von 1-x auf beiden Seiten liefert die Formel.

Beweis 2 (Induktion 1):

Für n=0 ist die Aussage trivial, dann steht nämlich da: 1=\frac{1-x^{1}}{1-x}=1.

Die Formel sei für n bereits gezeigt. Dann folgt:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}.

Zwei Potenzen auf dem Bruchstrich heben sich weg, wir erhalten also die Gleichung:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}.

Beweis 3 (Induktion 2):

Der Induktionsanfang ist wieder klar. Die Formel sei für n gezeigt. Dann folgt:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=1+x\cdot(1+x+x^{2}+...+x^{n})=1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Jetzt gilt es nur noch, den rechten Term auf einen Nenner zu bringen:

1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-x+x-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}.

Beweis 4 (Rekursion):

Dieser Beweis ist eine Art von Kombination aus den Beweisen 2 und 3: Wir bezeichnen mit Sn die Summe von 1 bis xn:

S_{n}=1+x+x^{2}+...+x^{n}

Wir wissen, dass für die (n+1)ste Summe Sn+1 zwei Identitäten gelten:

S_{n+1}=S_{n}+x^{n+1} und S_{n+1}=1+xS_{n}.

Es folgt: S_{n}+x^{n+1}=1+xS_{n}. Jetzt wird nach S_{n} aufgelöst:

S_{n}-xS_{n}=(1-x)S_{n}=1-x^{n+1}.

Beweis 5 (Polynomdivision):

\begin{matrix}(x^{n+1}-1)&:(x-1)&=&x^{n}+x^{n-1}+...+1\\ -\underline{(x^{n+1}-x^{n})}\\ x^{n}-1\\ -\underline{(x^{n}-x^{n-1})}\\ .... \\ \end{matrix}

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