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Geometrisches Langlands-Programm I: Weils Drehscheibe und Frenkels vierte Spalte

Posted by Modulix - Mai 5, 2010

In einem programmatischen Bourbaki-Artikel  über die geometrische Langlands-Korrespondenz beginnt Edward Frenkel mit einer Episode über A. Weil:

Wegen Desertion im Gefängnis einsitzend antwortet er auf die Frage seiner Schwester, was ihn wirklich an seiner Arbeit interessiere. 

Er antwortet mit seiner „Philosophie“ einer Drehscheibe der drei großen Bereiche:

Zahlentheorie;  Kurven über F_{q};  Riemannsche Flächen

Die Frage, die Weil interessierte, bestand in den korrespondierenden Begriffen der jeweiligen Spalten.
Was etwa entspricht der Galoisgruppe bei den Riemannschen Flächen, was entspricht den Zahlen der Form \frac{p}{q} in den anderen Spalten usw. Es geht also (zunächst einmal) um die Analogien zwischen Geometrie und Zahlentheorie.

Frenkel hat in seinem Artikel das Langlands-Programm im Sinn und diskutiert zunächst den Zugang, der es mit den ersten beiden Spalten zu tun hat. Insbesondere über die zweite Spalte verliert er nicht viele Worte und verweist auf die bahnbrechenden Arbeiten von Lafforgue, der dafür ja auch die Fields-Medaille erhalten hat. (Übrigens ist die IHES-Seite von Lafforgue sehr interessant, weil er sich inzwischen zu einem recht aggressiven Bildungspolitiker entwickelt hat.)
Frenkel wendet sich der dritten Spalte, also den Riemannschen Flächen zu. Wenn man vom  geometrischen Langlands-Programm spricht, dann geht es um die zur „klassischen“ Langlands-Korrespondenz analogen „Objekte“ auf Riemannschen Flächen.

Frenkel ergänzt die drei Säulen durch einen weiteren Untersuchungsgegenstand, den er „Quantenphysik“ nennt. Tatsächlich meint er Stringtheorie bzw.  Konforme Quantenfeldtheorie:

Zahlentheorie;  Kurven über F_{q};  Riemannsche Flächen; Quantenphysik

Was haben nun die zahlentheoretischen, algebro-geometrischen Betrachtungen mit der Quantenphysik bzw. Stringtheorie zu tun? Nun, er geht von der insbesondere durch Witten und Kapustin untersuchten elektromagnetischen Dualität aus. Witten und Kapustin haben einen über 220-seitigen Artikel in den arxives veröffentlicht, der im Prinzip die Hauptreferenz von Frenkel ist.

Darin werden die (nicht nur aus physikalischer Sicht) recht verzwickten Begriffsbildungen, die im Rahmen des „Geometrischen Langlands-Programms“ eine Rolle spielen, mit physikalisch eher nachvollziehbaren Begriffen in Verbindung gebracht.

Man könnte es auch so formulieren: Witten und Kapustin haben eine Übersetzung der mathematischen Termini in physikalische Begriffe vorgenommen, um verständlich zu machen, was unter so schwierigen Begriffen wie

zu verstehen ist. Natürlich geht ihr Artikel über eine Übersetzung weit hinaus, denn immerhin geht es um eine tiefliegende Dualität zwischen bestimmten Theorien. (In Frenkels Artikel werden übrigens mehrere „Dualitäten“ angesprochen, die alle für sich genommen überaus komplex und reichhaltig sind) 
Da es um Stringtheorie geht, kommen zwangläufig Begriffe wie A-Branes oder B-Branes vor, etwas, das viele Mathematiker nicht so gut kennen, dafür aber Stringtheoretiker umso besser.

Auffallend ist, dass Frenkels bisheriger Zugang über Konforme Blöcke und die Virasoro-Algebra am „kritischen Level“ nur kurz erwähnt wird. Ist das ein Zeichen dafür, dass dieser Zugang nicht sinnvoll war? Oder hat er sich das für einen späteren Artikel aufgehoben?

Mehr dazu in den nächsten Wochen.

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