Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for the ‘Analysis’ Category

Ein Blick auf Geogebra 4.2 CAS

Posted by Modulix - März 31, 2013

Geogebra erfreut sich großer Beliebtheit, weil es einfach zu bedienen, sehr leistungsstark

und in mannigfacher Weise einsetzbar ist.

Gerade in der Schule kann man z.B.

(a) den Geometrie-Stoff wesentlich ansprechender gestalten

(b) Funktionen darstellen, beliebig verändern etc.

(c) Stochastik attraktiver vermitteln.


Mit der Geogebra-Version 4.2 soll nun auch CAS (=Computeralgebra) eingeführt werden,

eine eigentlich sehr erfreuliche Entwicklung,

weil der systematische Einsatz von CAS in der Schule

fast ausschließlich mit teuren „CAS-Rechnern“ (vor allem von Texas Instruments und von Casio) gestaltet wird.

Ein paar erste kleine Rechnungen mit Geogebra 4.2 zeigen, dass das CAS schön läuft,

aber schon bei etwas anspruchvolleren Aufgaben (siehe Beispiel unten)

kann das CAS von Geogebra keine Antwort liefern.

Das ist etwas unverständlich, weil

(a) die kommerziellen Rechner solche Aufgaben sofort lösen können

(b) etwa die freie Software MAXIMA solche Aufgaben auch ohne Probleme löst.

Warum wurde hier nicht einfach auf das Erfolgsmodell Maxima zurückgegriffen? Maxima ist in Lisp programmiert,

also in keiner exotischen Programmiersprache, die etwa nicht zugänglich wäre.

Vielleicht wird es noch besser mit der CAS-Variante von Geogebra!

Hier das Beispiel:

Gesucht ist der Wert von a, so dass die Funktion

f_{a}(x)=a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x

auf der x-Achse ihr Minimum hat.

Es geht also um die Frage, zwei Gleichungen zu lösen, nämlich einmal die Nullstellengleichung:

a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x=0 und die Gleichung für die Ableitung:

\frac{d}{dx}(a\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+x)=0.

Lösung zu Fuß:

Mit Papier und Bleistift bewaffnet würde man aus letzter Gleichung gewinnen: e^{-\frac{1}{2}x}=\frac{2}{a}

Dies nun in die erste Gleichung eingesetzt erhielte man: a\cdot\frac{2}{a}+x=0, folglich x=-2 und dies nun in die

Gleichung für a eingesetzt: e^{1}=\frac{2}{a}, also a=2/e

Lösung mit Maxima:

In Maxima lautet die Eingabe dafür:

>solve([a*exp(-1/2*x)+x=0,diff(a*exp(-1/2*x)+x,x)=0],[a,x])

Man erhält nach Sekundenbruchteilen:

[a = 2 E -1  , x = – 2]

Hier ist übrigens der Graph derc Lösungsfunktion:

funktion

Die Nicht-Lösung mit Geogebra 4.2:

Eingegeben wird:

löse[{a*exp(-1/2*x)+x=0,Ableitung(a*exp(-1/2*x)+x,x)},{x,a}]

Es kommt die Antwort:

Die Berechnung dauert zu lange und wurde abgebrochen.


Hier könnten Einstellungsprobleme vorliegen, zugegeben,

aber allein die Bestimmung der Ableitung der oben genannten

Funktion ist gelinde gesagt, merkwürdig:

Nach Eingabe von

Ableitung(a*exp(-1/2*x)+x,x)

Kommt die Antwort:

\frac{\sqrt{e^{x}}-\frac{1}{2}ln(e)a}{\sqrt{e^{x}}}.

Das ist zwar algebraisch richtig, aber warum kann an dieser Stelle Geogebra nicht ln(e) berechnen??

Hier gibt es noch Nachbesserungsbedarf!

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Das erste Mathe-Abitur des G8 in Bayern (I)

Posted by Modulix - Mai 26, 2011

Am 20. Mai, also ziemlich genau vor einer Woche wurde das erste Mathematik-Abitur des achtjährigen Gymnasiums geschrieben.

Interessant an diesem Mathe-Abitur war, dass das Schlagwort von der neuen „Aufgabenkultur“ inzwischen Gestalt in Form bestimmter Aufgaben angenommen hat , die sich deutlich vom bisherigen G9-Abi unterscheiden.

Das schlägt sich insbesondere im Analysis-Teil (der hinsichtlich Punkte-Gewichtung die Hälfte der Note ausmacht) und im Geometrie-Teil nieder. Der Stochastik-Teil ist eher durch Standard-Aufgaben geprägt.

Insbesondere der Analysis-Teil ist besonders interessant:

Er beginnt mit ein paar Einstiegsaufgaben, die im Grunde nicht sehr schwer sind, aber doch grundlegendes Verständnis abfragen. Typisch ist dabei folgende Aufgabe: (Aufgabe 4  aus Aufgabengruppe II, Analysis Teil I)

„Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge \mathbb{R}\setminus\{0\} an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y =2 als Asymptote besitzt und in x =-1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.“

Gerade diese Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler, etwas selbst zu erstellen, freilich nach bestimmten Vorgaben, aber sie sollen unter Verwendung eines gewissen Repertoires an Kenntnissen eine Funktion basteln, die den Forderungen genügt. Es geht hier also gerade nicht darum, ein Kalkül  blind abzuspulen, sondern ein bisschen nachzudenken. Außerdem gibt es im Prinzip unendlich viele Lösungen.

Eine Lösung wäre übrigens: f(x)=\frac{2(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}.

Im Bereich Geometrie konnte man (wie auch in den anderen beiden Bereichen Analysis und Stochastik)  aus zwei Aufganegruppen wählen, die nicht ganz einfach waren, aber schon den Weg zu anderen Aufgabenformen weisen und deshalb von einigen Schülern als recht schwer empfunden werden. Das liegt daran, dass nicht so sehr das mühsame Gleichungslösen im Vordergrund steht, sondern eine auf elementargeometrische Einsichten abzielende Aufgabenstellung  favorisiert wird.

Ein Beispiel (Aufgabe b aus Geometrie Aufgabengruppe II):

Ein Dreieeck ABC sei rechtwinklig mit Hyptenuse [AB].

„Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B.durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise“

Hier muss also etwas beschrieben werden. Hier geht es um „Kongruenz„, ein Begriff der zwar grundlegend ist, den viele Schüler aber zuletzt in der 7. Klasse gehört haben könnten. Dass es um die Rotation der beiden Dreiecke geht, die im Thaleskreis über der Hypotenuse [AB] liegen und die Maße des Ausgangsdreiecks ABC haben, zielt auf die Elementargeometrie ab.

Die Bsteimmung der Höhe kann über ähnliche Dreiecke oder über die Flächenformel: A=1/2 ab=1/2ch bestimmt werden.

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Benoit Mandelbrot gestorben

Posted by Modulix - Oktober 17, 2010

Wie man den Medien entnehmen kann, ist Benoit Mandelbrot gestorben.

Mandelbrot ist in erster Linie durch die berühmte Mandelbrotmenge für die Funktion f(z)=z2+c bekannt. ( Bei ihr handelt es sich um den Teil des Parameterraums, für den die zugehörigen Juliamengen zusammenhängend sind.)

Aber Mandelbrot wird langfristig vielleicht auch als derjenige bekannt bleiben, der eine komplexere Herangehensweise bei der Analyse von Wertpapierkursen empfohlen hat.

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Lösung der Integrationsaufgabe

Posted by Modulix - Dezember 19, 2009

Die Lösung lautet:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\frac{a}{2}

Um das zu zeigen,  beginnnen wir damit, den Integranden ein bisschen umzuformen:

\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}=\frac{f(x)+f(a-x)-f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}=1-\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}

So erhalten wir:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\int_{0}^{a}(1-\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)})dx

=a-\int_{0}^{a}\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx

Das  zweite Integral sieht nun fast genauso aus, wie das urprüngliche Integral.

Verwenden wir nun die Substititionsregel, um sie mit dem ursprünglichen Integral in Verbindung zu bringen:

\int_{0}^{a}\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx=-\int_{a}^{0}\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}dy=\int_{0}^{a}\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}dy.

 (dabei wurde y:=a-x substituiert und mit dy=-dx die Tatsache \int_{0}^{a}...=-\int_{a}^{0}... verwendet.)

Es folgt:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=a-\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx.

Bezeichnen wir das Integral mit I, so steht also da:

I=a-I

Aufgelöst nach I erhalten wir:

I=a/2.

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Eine kleine Integrationsknobelaufgabe

Posted by Modulix - Dezember 9, 2009

Folgende Aufgabe kann man mit der Substitutionsregel sehr schön lösen, obwohl beim ersten Durchlesen eine allgemeine Lösung eher unwahrscheinlich erscheint:

Gegeben ist eine auf dem Intervall [0;a] stetige Funktion f. Außerdem gelte, dass f(x)+f(a-x) auf [0,a] nirgends verschwindet. (Ein Beispiel wäre schon eine lineare Funktion f(x)=2x+1 auf  [0,a] (a>0))

Bestimme den Wert des Integrals:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx.

Die Lösung kommt im nächsten Posting.

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Möbiustransformationen als Film

Posted by Modulix - Dezember 27, 2007

Eins sehr schöner Film, wie die sich die Möbiustransformationen auf der komplexen Ebene aus den Bewegungen der Riemannschen Zahlenkugel ergeben, findet sich auf YouTube:

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Eine Gegenbeispiel in der Analysis

Posted by Modulix - Oktober 4, 2007

Es gibt reelle Funktionen, die nicht einmal stetig sind, aber deren Richtungsableitungen alle trotzdem existieren:

f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} für (x,y)\neq(0,0) und f(0,0)=0.

Dass diese Funktion im Punkt (0,0) nicht einmal stetig ist, kann man wie folgt zeigen:

Betrachten wir die Kurve y=x^{2}. Es gilt: f(x,x^{2})=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. Offensichtlich ist die Funktion demnach nicht stetig auf dieser Kurve, weil sie auf dieser Kurve den Wert 1/2, aber im Punkt (o,o) den Wert 0 hat.

Jetzt zu den Richtungsableitungen: Betrachten wir eine beliebige Richtung um den Punkt (0,0), also die Richtung (cos\alpha,sin\alpha) und stellen den Differenzenquotienten für diese Richtung auf:

\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)}{t}=\frac{1}{t}\cdot\frac{t^{2}\cos^{2}\alpha\cdot t\sin\alpha}{t^{4}cos^{4}\alpha+t^{2}\sin^{2}\alpha}

Wir kürzen: \frac{1}{t}\cdot\frac{\cos^{2}\alpha\cdot tsin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha}

Hier ist eine Grenzwertbildung ohne Probleme möglich:

\lim\frac{f(tcos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}.

An dem letzten Wert sieht man, dass noch eine Betrachtung notwendig ist, wenn $\sin\alpha=0$ (also auf den Koordinatenachsen selbst). Aber hier zeigt sich sofort:

\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{t^{5}}=0.

(Das Beispiel habe ich aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann).

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Warum Nullkommaneunperiode gleich Eins ist

Posted by Modulix - August 22, 2007

Immer wieder, insbesondere in der 6. Klasse, wird den Schülern beigebracht, dass gilt: 0,9999… = 1.

Hochtrabender kann man davon sprechen, dass die Dezimaldarstellung, so wie jede andere b-adische Darstellung, nicht eindeutig ist. Denn es gilt auch: 0,45999999…=0,46.

Ich lasse hier die übliche Schreibweise für Perioden, also 0,\overline{2}=0,2222.... weg, um nicht alle Rechnungen im Latex-Modus scheiben zu müssen.

Hier werden drei Argumente bzw. Beweise für diese Aussage vorgestellt:

Das klassische Argument:

So wird es gerne den 6.Klässlern erklärt (ob sie das verstehen, sei dahin gestellt):

(Gleichung 1) s=0,99999….

(Gleichung 2): 10*s=9,9999…

Jetzt rechnen wir 10*s – s = 9,99999… -0,9999….

Wir erhalten 9*s = 9, also ist s = 1

Das Analogie-Argument:

Man kann leicht ausrechnen: \frac{1}{9}=0,1111...

Außerdem folgt: \frac{2}{9}=0,222....

Damit kann man sagen: \frac{9}{9}=0,999..., aber \frac{9}{9}=1.

Das Argument mit der geometrischen Reihe:

Die Formel für die geometrische Reihe lautet:

1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Damit folgt:

x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}-1 = \frac{x}{1-x}

Nun gilt im Dezimalsystem

0,9999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+...=9\cdot(\frac{1}{10}+(\frac{1}{10})^{2}+(\frac{1}{10})^{3}+...)

Mit der geometrischen Reihe folgt dann:

0,9999... = 9\cdot\frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}

Eine kleine Rechnung der letzten Zeile liefert:

9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}=9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{\frac{9}{10}}= 1.

Übrigens: Auch für das Binärsystem gilt die Aussage: (0,11111…)2 = 1.

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