Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for the ‘Zahlentheorie’ Category

Großer Fermat und ABC

Posted by Modulix - August 18, 2011

Das gestrige „Google-Doodle“, das an den „großen“ bzw. „letzten“  Satz von Fermat erinnerte, kann auch mal Anlass sein,  eine bestimmte Frage zu stellen:

Gibt es  vielleicht einen „direkteren“ Beweis als den existierenden?

Denn  der Beweis des Satzes durch Wiles ist ja eigentlich der Beweis einer anderen Aussage, die mit der Aussage:

a^n+b^n=c^n hat keine  Lösung in der Menge der natürlichen Zahlen  für n>2

in einem bestimmten Verhältnis steht.

Ein guter Kandidat für eine kürzere Version des Beweises wäre die ABC-Vermutung, die den Beweis von Wiles vereinfachen würde.

Advertisements

Posted in Mathematiker, Mathematische Sätze, Uncategorized, Zahlentheorie | Leave a Comment »

Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus

Posted by Modulix - Mai 16, 2008

Zu Kettenbrüchen gibt es eine ausgefeilte Theorie (siehe etwa den Wikipedia-Eintrag), aber die Erstellung eines endlichen Kettenbruches erfordert keine Kenntnisse über Matrizen-Multiplikation oder ähnliches.

Wie erstelle ich etwa aus \frac{3}{11} einen Kettenbruch?

Ich wende den euklidischen Algorithmus darauf an, um den (natürlich bekannten) größten gemeinsamem Teiler zu finden:

3 = 0\cdot11+3

11=3\cdot3+2

3=1\cdot2+1

2=2\cdot1+0

Der Kettenbruch lautet damit:

\frac{3}{11}=\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}

Die Zahlen im Kettenbruch sind also nichts anderes als die Koeffizienten im euklidischen Algorithmus.

Ein weiteres Beispiel, bei dem der Zähler mal größer als der Nenner ist: \frac{14}{5}:

14=2\cdot5+4

5=1\cdot4+1

4=4\cdot4+0

Es folgt: \frac{14}{5}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}

Noch ein weiteres Beispiel: \frac{5}{13}:

Das ist der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen. Diese Kettenbruchentwicklung deutet bereits an, dass allgemein gilt: \frac{fib_{n}}{fib_{n+1}}\rightarrow\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, dass also die Quotienten aufeinanderfolgender Kettenbrüche gegen den goldenen Schnitt konvergieren. Dabei deutet sich auch an, dass der goldene Schnitt besonders schlecht zu approximieren ist.

8=0\cdot13+8

13=1\cdot8+5

8=1\cdot5+3

5=1\cdot3+2

3=1\cdot2+1

Es folgt: \frac{8}{13}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}.

Auf der Seite von Arndt Brünner kann man Kettenbrüche online berechnen. Dort ist auch noch einmal der Mechanismus erklärt.

 

Posted in Schulmathematik, Zahlentheorie | Leave a Comment »

Körper mit einem Element (I)

Posted by Modulix - Juli 16, 2007

Von einem „Gespenst“ sprach vor etwa drei Jahren ein Professor für arithmetische/ algebraische Geometrie bei einem Bewerbungs-Vortrag in München, das in der algebraischen Geometrie umgehe – es sei das Gespenst des Körpers mit nur einem Element.
Einige der Zuhörer schienen sehr überrascht, denn ein Körper mit nur einem Element (?) erscheint auf den ersten Blick
a) uninteressant und
b) seine Existenz irgendwie fragwürdig.

Inzwischen allerdings hat am höchst renommierten IHES (der französischen Version des Institute of Advanced Studies) eine Konferenz zu genau diesem Thema stattgefunden, so dass das „Gespenster“-hafte des Körpers mit einem Element gewichen ist und das „Körperchen“ dafür plötzlich die Weihen ernsthaften Interesses weltberühmter Mathematiker erhält.

An dieser Konferenz haben u.a .  Y. Manin und M. Kontsevich (!!) teilgenommen.

Inzwischen ist ein erstes Ergebnis zu dem Thema als preprint erhältlich: Ein neuer Zugang zur Arakelov-Geometrie, in dem der Körper mit einem Element eine Rolle spielt, von N. Dourov (der auch an der Konferenz teilgenommen hat).

Zu diesem Artikel gibt es im n-Category-Cafe eine interessante Diskussion.

Bei dem gesamten Thema handelt es sich um eine durchaus kompliziertes Sache. Allerdings gibt es einen Artikel im American Mathematical Monthly von Henry Cohn in der Juni/ Juli-Ausgabe des Jahres 2004 (genauer: Band 111), in dem das Thema von einer recht verständlichen Seite her aufgezogen wird.

Dazu aber muss man sich mit dem Thema der endlichen einfachen Gruppen befassen: 

Es gibt nach dem Klassifikationssatz folgende endliche einfache Gruppen:

a) die zyklischen (somit abelsche Gruppen) mit Primzahlordnung,

b) die Familie der altenrnierenden Gruppen A5, A6, A7, ….,

c) die Familie der Gruppen vom Lie-Typ

d) die sporadischen Gruppen.

Cohn möchte die alternierenden Gruppen An als Matrixgruppen über einem Körper definieren. Dieser Körper ist der Körper mit einem Element

Das heißt, es soll gelten: An= PSL(n,F1)
Geometrischer gesprochen: Es wird ein n-dimensionaler projektiver Raum über dem Körper mit einem Element definiert. Die Gruppe der Automorphismen dieses projektiven Raums ist dann An

Es bleibt abzuwarten, was es noch für Resultate in dieser Richtung geben wird. Auf jeden Fall wird das Thema längst nicht mehr als „Gespenst“ durch die Hallen der Mathematikinstitute poltern.

Posted in Algebra, Mathematische Merkwürdigkeiten, Zahlentheorie | 3 Comments »