Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for the ‘Algebra’ Category

Großer Fermat und ABC

Posted by Modulix - August 18, 2011

Das gestrige „Google-Doodle“, das an den „großen“ bzw. „letzten“  Satz von Fermat erinnerte, kann auch mal Anlass sein,  eine bestimmte Frage zu stellen:

Gibt es  vielleicht einen „direkteren“ Beweis als den existierenden?

Denn  der Beweis des Satzes durch Wiles ist ja eigentlich der Beweis einer anderen Aussage, die mit der Aussage:

a^n+b^n=c^n hat keine  Lösung in der Menge der natürlichen Zahlen  für n>2

in einem bestimmten Verhältnis steht.

Ein guter Kandidat für eine kürzere Version des Beweises wäre die ABC-Vermutung, die den Beweis von Wiles vereinfachen würde.

Advertisements

Posted in Mathematiker, Mathematische Sätze, Uncategorized, Zahlentheorie | Leave a Comment »

Geometrisches Langlands-Programm I: Weils Drehscheibe und Frenkels vierte Spalte

Posted by Modulix - Mai 5, 2010

In einem programmatischen Bourbaki-Artikel  über die geometrische Langlands-Korrespondenz beginnt Edward Frenkel mit einer Episode über A. Weil:

Wegen Desertion im Gefängnis einsitzend antwortet er auf die Frage seiner Schwester, was ihn wirklich an seiner Arbeit interessiere. 

Er antwortet mit seiner „Philosophie“ einer Drehscheibe der drei großen Bereiche:

Zahlentheorie;  Kurven über F_{q};  Riemannsche Flächen

Die Frage, die Weil interessierte, bestand in den korrespondierenden Begriffen der jeweiligen Spalten.
Was etwa entspricht der Galoisgruppe bei den Riemannschen Flächen, was entspricht den Zahlen der Form \frac{p}{q} in den anderen Spalten usw. Es geht also (zunächst einmal) um die Analogien zwischen Geometrie und Zahlentheorie.

Frenkel hat in seinem Artikel das Langlands-Programm im Sinn und diskutiert zunächst den Zugang, der es mit den ersten beiden Spalten zu tun hat. Insbesondere über die zweite Spalte verliert er nicht viele Worte und verweist auf die bahnbrechenden Arbeiten von Lafforgue, der dafür ja auch die Fields-Medaille erhalten hat. (Übrigens ist die IHES-Seite von Lafforgue sehr interessant, weil er sich inzwischen zu einem recht aggressiven Bildungspolitiker entwickelt hat.)
Frenkel wendet sich der dritten Spalte, also den Riemannschen Flächen zu. Wenn man vom  geometrischen Langlands-Programm spricht, dann geht es um die zur „klassischen“ Langlands-Korrespondenz analogen „Objekte“ auf Riemannschen Flächen.

Frenkel ergänzt die drei Säulen durch einen weiteren Untersuchungsgegenstand, den er „Quantenphysik“ nennt. Tatsächlich meint er Stringtheorie bzw.  Konforme Quantenfeldtheorie:

Zahlentheorie;  Kurven über F_{q};  Riemannsche Flächen; Quantenphysik

Was haben nun die zahlentheoretischen, algebro-geometrischen Betrachtungen mit der Quantenphysik bzw. Stringtheorie zu tun? Nun, er geht von der insbesondere durch Witten und Kapustin untersuchten elektromagnetischen Dualität aus. Witten und Kapustin haben einen über 220-seitigen Artikel in den arxives veröffentlicht, der im Prinzip die Hauptreferenz von Frenkel ist.

Darin werden die (nicht nur aus physikalischer Sicht) recht verzwickten Begriffsbildungen, die im Rahmen des „Geometrischen Langlands-Programms“ eine Rolle spielen, mit physikalisch eher nachvollziehbaren Begriffen in Verbindung gebracht.

Man könnte es auch so formulieren: Witten und Kapustin haben eine Übersetzung der mathematischen Termini in physikalische Begriffe vorgenommen, um verständlich zu machen, was unter so schwierigen Begriffen wie

zu verstehen ist. Natürlich geht ihr Artikel über eine Übersetzung weit hinaus, denn immerhin geht es um eine tiefliegende Dualität zwischen bestimmten Theorien. (In Frenkels Artikel werden übrigens mehrere „Dualitäten“ angesprochen, die alle für sich genommen überaus komplex und reichhaltig sind) 
Da es um Stringtheorie geht, kommen zwangläufig Begriffe wie A-Branes oder B-Branes vor, etwas, das viele Mathematiker nicht so gut kennen, dafür aber Stringtheoretiker umso besser.

Auffallend ist, dass Frenkels bisheriger Zugang über Konforme Blöcke und die Virasoro-Algebra am „kritischen Level“ nur kurz erwähnt wird. Ist das ein Zeichen dafür, dass dieser Zugang nicht sinnvoll war? Oder hat er sich das für einen späteren Artikel aufgehoben?

Mehr dazu in den nächsten Wochen.

Posted in Algebra, Mathematiker, Mathematische Physik, Netzwelt | Leave a Comment »

John T. Tate bekommt den Abelpreis

Posted by Modulix - März 24, 2010

Der „Erfinder“ des Adelrings bekommt den Abelpreis: John T. Tate

Posted in Algebra, Mathematiker, Netzwelt | Leave a Comment »

Eine kleine Aufgabe

Posted by Modulix - April 17, 2009

Eine kleine Aufgabe aus dem Känguru-Test des letzten Jahres hat mir besonders gefallen:

Gegeben seine drei reelle Zahlen x,y,z, die folgenden zwei Gleichungen genügen sollen:

x+y+z=1 und \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0

Frage: Welchen Wert hat dann der Term

x^2+y^2+z^2?

Die Lösung kann folgendermaßen aussehen:

Es gilt:

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)

Dies kann man auch so schreiben (Ausklammern von xyz):

x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xyz(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})

Es folgt mit den Voraussetzungen also: x^2+y^2+z^2=1.

Posted in Algebra, Schulmathematik | Leave a Comment »

Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus

Posted by Modulix - Mai 16, 2008

Zu Kettenbrüchen gibt es eine ausgefeilte Theorie (siehe etwa den Wikipedia-Eintrag), aber die Erstellung eines endlichen Kettenbruches erfordert keine Kenntnisse über Matrizen-Multiplikation oder ähnliches.

Wie erstelle ich etwa aus \frac{3}{11} einen Kettenbruch?

Ich wende den euklidischen Algorithmus darauf an, um den (natürlich bekannten) größten gemeinsamem Teiler zu finden:

3 = 0\cdot11+3

11=3\cdot3+2

3=1\cdot2+1

2=2\cdot1+0

Der Kettenbruch lautet damit:

\frac{3}{11}=\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}

Die Zahlen im Kettenbruch sind also nichts anderes als die Koeffizienten im euklidischen Algorithmus.

Ein weiteres Beispiel, bei dem der Zähler mal größer als der Nenner ist: \frac{14}{5}:

14=2\cdot5+4

5=1\cdot4+1

4=4\cdot4+0

Es folgt: \frac{14}{5}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}

Noch ein weiteres Beispiel: \frac{5}{13}:

Das ist der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen. Diese Kettenbruchentwicklung deutet bereits an, dass allgemein gilt: \frac{fib_{n}}{fib_{n+1}}\rightarrow\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, dass also die Quotienten aufeinanderfolgender Kettenbrüche gegen den goldenen Schnitt konvergieren. Dabei deutet sich auch an, dass der goldene Schnitt besonders schlecht zu approximieren ist.

8=0\cdot13+8

13=1\cdot8+5

8=1\cdot5+3

5=1\cdot3+2

3=1\cdot2+1

Es folgt: \frac{8}{13}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}}.

Auf der Seite von Arndt Brünner kann man Kettenbrüche online berechnen. Dort ist auch noch einmal der Mechanismus erklärt.

 

Posted in Schulmathematik, Zahlentheorie | Leave a Comment »

2008 – Jahr der Mathematik

Posted by Modulix - Januar 1, 2008

Das Jahr 2008 wird das Jahr der Mathematik werden. Und schnell erhebt sich die Frage: Warum eigentlich erst jetzt?

Naja, könnte man antworten, es ist ja auch nur das deutsche Jahr der Mathematik.

Es gab bereits das internationale Jahr der Mathematik (das war 2000) und man muss sich fragen, bei aller Begeisterung, die man dafür als Mathematiker zu empfinden bereit ist, was das eigentlich bringt: Jahr der Mathematik. (Für Lehrer interessant ist übrigens die Begleitseite der Telekom-Stiftung: mathematik anders machen)

Einen Vorgeschmack kann man durch Lektüre der Bilanzen der bisherigen Wissenschaftsjahre bekommen. Letztes Jahr z.B. waren die Geisteswissenschaften dran.

Es wird also, wenn man die letztjährigen Aktionen bewertet, ein paar Leuchtturmprojekte geben, ein paar publikumswirksame Auftritte sowie ein paar wohlmeinende Artikel in den Zeitungen. Vielleicht wird die eine oder andere Förderungsmöglichkeit für bestimmte Projekte eröffnet.

Im Zentrum des Mathematikjahres steht aber auch die Auseinandersetzung mit der Öffentlichkeit, was sicherlich ein heikles Thema zu werden verspricht.

Mathematik und Öffentlichkeit:

Mathematik sitzt im Ghetto der freudlosen Rechnerei – als Kultur- und Strukturwissenschaft wird die Mathematik in der Öffentlichkeit nicht wahrgenommen. Zwar gilt Mathe als wichtig, aber mehr zur Erlangung von Basisfertigkeiten zur erfolgreichen Vermittlung auf dem Arbeitsmarkt. Dass mathematische Probleme auch den Uneingeweihten fesseln könnten, dass Mathematik auch mit Ästhetik zu tun hat, dass die scheinbar so reine Mathematik unmittelbaren Anwendungsnutzen haben kann und nicht nur ein Glasperlenspiel im akademischen Elfenbeinturm sein muss, das alles wird kaum wahrgenommen.

Mathematik braucht einen Popularisierungsschub, der durch ein solches Jahr ermöglicht werden kann

Die entscheidenden Anregungen, die bisherigen Popularisierungen kommen von außen: Das wahrscheinlich bekannteste Mathematikbuch deutscher Sprache ist der „Zahlenteufel“ von Hans Magnus Enzensberger. Der letzte große Bestseller, der Mathematik zum Gegenstand hatte, war Gödel, Escher, Bach. Den Rest des Beitrags lesen »

Posted in Kategorifizierung, Mathematiker, Mathematikerinnen, Uncategorized | Leave a Comment »

Körper mit einem Element (I)

Posted by Modulix - Juli 16, 2007

Von einem „Gespenst“ sprach vor etwa drei Jahren ein Professor für arithmetische/ algebraische Geometrie bei einem Bewerbungs-Vortrag in München, das in der algebraischen Geometrie umgehe – es sei das Gespenst des Körpers mit nur einem Element.
Einige der Zuhörer schienen sehr überrascht, denn ein Körper mit nur einem Element (?) erscheint auf den ersten Blick
a) uninteressant und
b) seine Existenz irgendwie fragwürdig.

Inzwischen allerdings hat am höchst renommierten IHES (der französischen Version des Institute of Advanced Studies) eine Konferenz zu genau diesem Thema stattgefunden, so dass das „Gespenster“-hafte des Körpers mit einem Element gewichen ist und das „Körperchen“ dafür plötzlich die Weihen ernsthaften Interesses weltberühmter Mathematiker erhält.

An dieser Konferenz haben u.a .  Y. Manin und M. Kontsevich (!!) teilgenommen.

Inzwischen ist ein erstes Ergebnis zu dem Thema als preprint erhältlich: Ein neuer Zugang zur Arakelov-Geometrie, in dem der Körper mit einem Element eine Rolle spielt, von N. Dourov (der auch an der Konferenz teilgenommen hat).

Zu diesem Artikel gibt es im n-Category-Cafe eine interessante Diskussion.

Bei dem gesamten Thema handelt es sich um eine durchaus kompliziertes Sache. Allerdings gibt es einen Artikel im American Mathematical Monthly von Henry Cohn in der Juni/ Juli-Ausgabe des Jahres 2004 (genauer: Band 111), in dem das Thema von einer recht verständlichen Seite her aufgezogen wird.

Dazu aber muss man sich mit dem Thema der endlichen einfachen Gruppen befassen: 

Es gibt nach dem Klassifikationssatz folgende endliche einfache Gruppen:

a) die zyklischen (somit abelsche Gruppen) mit Primzahlordnung,

b) die Familie der altenrnierenden Gruppen A5, A6, A7, ….,

c) die Familie der Gruppen vom Lie-Typ

d) die sporadischen Gruppen.

Cohn möchte die alternierenden Gruppen An als Matrixgruppen über einem Körper definieren. Dieser Körper ist der Körper mit einem Element

Das heißt, es soll gelten: An= PSL(n,F1)
Geometrischer gesprochen: Es wird ein n-dimensionaler projektiver Raum über dem Körper mit einem Element definiert. Die Gruppe der Automorphismen dieses projektiven Raums ist dann An

Es bleibt abzuwarten, was es noch für Resultate in dieser Richtung geben wird. Auf jeden Fall wird das Thema längst nicht mehr als „Gespenst“ durch die Hallen der Mathematikinstitute poltern.

Posted in Algebra, Mathematische Merkwürdigkeiten, Zahlentheorie | 3 Comments »