Mathekram

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Archive for Dezember 2009

Lösung der Integrationsaufgabe

Posted by Modulix - Dezember 19, 2009

Die Lösung lautet:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\frac{a}{2}

Um das zu zeigen,  beginnnen wir damit, den Integranden ein bisschen umzuformen:

\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}=\frac{f(x)+f(a-x)-f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}=1-\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}

So erhalten wir:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\int_{0}^{a}(1-\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)})dx

=a-\int_{0}^{a}\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx

Das  zweite Integral sieht nun fast genauso aus, wie das urprüngliche Integral.

Verwenden wir nun die Substititionsregel, um sie mit dem ursprünglichen Integral in Verbindung zu bringen:

\int_{0}^{a}\frac{f(a-x)}{f(x)+f(a-x)}dx=-\int_{a}^{0}\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}dy=\int_{0}^{a}\frac{f(y)}{f(a-y)+f(y)}dy.

 (dabei wurde y:=a-x substituiert und mit dy=-dx die Tatsache \int_{0}^{a}...=-\int_{a}^{0}... verwendet.)

Es folgt:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=a-\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx.

Bezeichnen wir das Integral mit I, so steht also da:

I=a-I

Aufgelöst nach I erhalten wir:

I=a/2.

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Eine kleine Integrationsknobelaufgabe

Posted by Modulix - Dezember 9, 2009

Folgende Aufgabe kann man mit der Substitutionsregel sehr schön lösen, obwohl beim ersten Durchlesen eine allgemeine Lösung eher unwahrscheinlich erscheint:

Gegeben ist eine auf dem Intervall [0;a] stetige Funktion f. Außerdem gelte, dass f(x)+f(a-x) auf [0,a] nirgends verschwindet. (Ein Beispiel wäre schon eine lineare Funktion f(x)=2x+1 auf  [0,a] (a>0))

Bestimme den Wert des Integrals:

\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx.

Die Lösung kommt im nächsten Posting.

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