Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Eine kleine Aufgabe

Posted by Modulix - April 17, 2009

Eine kleine Aufgabe aus dem Känguru-Test des letzten Jahres hat mir besonders gefallen:

Gegeben seine drei reelle Zahlen x,y,z, die folgenden zwei Gleichungen genügen sollen:

x+y+z=1 und \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0

Frage: Welchen Wert hat dann der Term

x^2+y^2+z^2?

Die Lösung kann folgendermaßen aussehen:

Es gilt:

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)

Dies kann man auch so schreiben (Ausklammern von xyz):

x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xyz(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})

Es folgt mit den Voraussetzungen also: x^2+y^2+z^2=1.

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