Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Lehrplan 10. Klasse 8-jähriges Gymnasium (I)

Posted by Modulix - Dezember 1, 2008

Obwohl es eine KMK (=Kultusministerkonferenz) gibt (nebenbei bemerkt: mit einer recht schön gemachten Internetseite), auf der (angefangen bei periodischen Sitzungen hin zur Ausarbeitung von Bildungssstandards) vieles besprochen und beschlossen wird, sind die  Lehr- oder (wie es etwa in Baden-Württemberg heißt) Bildungspläne doch recht verschieden.

Eines allerdings scheint einheitlich zu sein: Das 10. Schuljahr Gymnasium ist das Schuljahr der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen. Sonst weichen die Lehrpläne voneinander ab, meistens nicht wesentlich, aber immer doch so, dass ein einheitlicher Überblick über alle Lehrpläne aller 16 Bundesländer eigentlich unmöglich ist. Daher werde ich mich in erster Linie an den Lehrplan des bayerischen Gymnasiums halten.

I. Vorbemerkung

II. Inhalte des Lehrplans

III. Kommentare zum Lehrplan

IV. Ein paar leichte Beispielaufgaben

V. Lösungen der Aufgaben

I. Vorbemerkung

Der Mathematik-Lehrplan der 10. Klasse im 8-jährigen Gymnasium (kurz G8) in Bayern unterscheidet sich gar nicht so wesentlich vom Lehrplan für das 9-jährige Gymnasium (G9). Es kommen wieder Kreis und Kugel vor, Sinus und Kosinus sind Themen (allerdings weniger als im G9, weil Sinus und Kosinus schon in der 9. Klasse (G 8 ) eingeführt wurden) und das wichtige Thema Exponential- und Logarithmusfunktion wird intensiv behandelt. Dazu gestoßen ist die Funktionenlehre, auf die dann in der 11. Klasse sehr intensiv aufgebaut werden wird.

II. Inhalte des Lehrplans

Der Lehrplan für die 10. Klasse G8 gliedert sich folgendermaßen:

(neben den Überschriften ist die vom Lehrplan in etwa zu bemessene Stundenzahl angegeben, die nur als Leitwert dient und nicht strikt eingehalten werden muss)

1. Kreis und Kugel (16 Stunden):

Zuerst wird auf die Zahl \pi und ihre Berechnung eingegangen. Die Formeln für Volumen und Oberfläche der Kugel und ihre Anwendungen werden hergeleitet bzw. behandelt.

2. Sinus und Kosinus für beliebige Winkel (14 Stunden)

Der Sinus und Kosinus im Einheitskreis werden besprochen. Davon ausgehend werden die Winkelsätze im allgemeinen Dreieck, als Sinussatz und Kosinussatz hergeleitet und Aufgaben dazu behandelt. Die Sinus- und Kosinus-Funktion werden besprochen und Anwendungen behandelt.

3. Exponential- und  und Logarithmusfunktion (18 Stunden)

Im Gegensatz zu linearen Funktionen gibt es Phänomene in der Natur, die nur mit einem exponentiallen Wachstum oder Zerfall berschrieben werden können.

4. Stochastik:

Erste und Zweite Pfadregel, bedingte Wahrscheinlichkeiten.

5. Funktionenlehre

a) Ganzrationale Funktionen und ihre Graphen

b) Verschieben, Strecken, Stauchen etc. von Graphen von Funktionen

c) Erste Andeutungen eines Grenzwertbegriffs

III. Kommentare

1. Zu Kreis und Kugel:

Die Zahl \pi ist eines der Grundkonstanten der Mathematik und den meisten Menschen bekannt. Gerade zu dieser Zahl gibt es zahlreiche Bücher, Aufsätze, sogar ein paar neue Ergebnisse usw. Es gibt sogar Wettbewerbe, bei denen die ersten 100 Nachkommastellen von \pi aufgesagt werden. Das sind eher bizarre Auswüchse des Kults, den manche um diese Zahl machen.
Aber in der Schule wird zunächst einmal (laut Lehrplan) die näherungsweise Berechnung der Zahl \pi mit Hilfe eines „Tabellenkalkulationssystems“ (d.h. mit Excel oder einer Open-Source-Version davon) behandelt.
Um eine solche Berechnung vorzunehmen, verwendet man eine der üblichen Rekursionsfolgen und rechnet diese Schritt für Schritt aus. (Eine weitere Beschreibung folgt in einem neuen Post)
Bei diesem Thema ist aus Sicht von Lehrkräften (und hoffentlich auch für die Schülerinnen und Schüler) einiges herauszuholen:
  • Zum einen geht es um mindestens 3000 Jahre Kulturgeschichte der Zahl \pi: Angefangen bei den Ägyptern, ihre Erwähnung in der Bibel, ihr Wert im alten China, die moderneren Berechnungsmethoden und schließlich die recht aktuelle Berechnung, die es erlaubt ohne Bestimmung vorheriger Stellen z.B. die 10.000ste Kommastelle zu berechnen.
  • Zum anderen geht es um den Einsatz des Computers zur numerischen Berechnung eines gesuchten Wertes. Und dies noch dazu mittels einer rekursiven Folge. Das Medium Computer ist ohnehin sehr beliebt und jetzt kann man sogar explizit eine Näherungsberechnung vornehmen. Didaktisch ist das durchaus dankbar.

Die Bestimmung von Größen auf der Kugel bietet eine vollkommen neue Sichtweise, denn nun kann man diese Berechnungen an der Erde (die ja cum grano salis kugelförmig ist) vornehmen. Es bietet sich nun auch an, die Winkelsumme von Kreisbogendreiecken auf der Kugel zu betrachten und dabei festzustellen, dass ihre Summe immer größer als 180° betragen muss. In gewisser Weise werden dabei in den Köpfen der Schüler vorhandene Vorstellungen aufgebrochen. Die Welt ist also nicht flach und außerdem nicht so einfach, sie hält noch einige Überaschungen bereit, sogar in der Mathematik …

Zu 2. und 3. Sinus und Kosinus

Das ist im wesentlichen der Standardstoff, den es zu behandeln gibt. Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind eine der grundlegenden Begriffe für alle Naturwissenschaften.

4. Stochastik

Der Klassiker der bedingten Wahrscheinlichkeit ist die Formel von Bayes. Interessanterweise wird in den neuen Schulbüchern die Formel zwar hergeleitet und auch anhand von Aufgaben eingeübt, aber es wird nicht ihr Name erwähnt (z.B. im bsv- und im Cornelsen-Buch, auch nicht im Duden-Paetec-Buch). Ist es wirklich so schlimm, die Formel so zu nennen? Denn immerhin findet diese Formel zigfache Anwendung, angefangen bei der Beurteilung bestimmter statistischer Aussagen (darin bestehen  auch die meisten Aufgaben in den Büchern) bis hin zu den Spamfiltern für E-Mails.

Eine berühmte Aufgabe ist das Ziegenproblem, das man mit bedingter Wahrscheinlichkeit mathematisch befriedigend lösen kann.

5. Zur Funktionenlehre

Dazu giibt es Ausführliches in einem weiteren Post. Kurz gesagt geht es um

  • Strecken und Verschieben von Funktionsgraphen: af(x-b)+c
  • Spiegeln und Symmetrie von Funktionsgraphen
  • Verhalten an den Rändern

Etwas merkwürdig ist, dass die gebrochen rationalen Funktionen gar nicht im Lehrplan genannt werden, obwohl diese doch in der 8. Klasse (G8) eingeführt wurden. Dass hier der Faden nicht wieder aufgenommen wird, obwohl sie recht gut in das Schema über Graphen von Funktionen hineinpassen würden, bleibt unklar. (In der 11. Klasse übrigens kommen sie wieder!)

IV. Ein paar Beispiele:

1. Kugeln usw.

In einen Würfel mit Kantenlänge a wird eine Kugel einbeschiren und zwar so, dass sie gerade der 6 Seiten des Würfels berührt. Bestimme das Volumen sowie die Oberfläche der Kugel und bestimme den Bruchteil (in Prozent), den die Kuge an Würfelvolumen einnimmt.

2. Sinus und Kosinus

Bestimme die Werte:

a) \sin(\frac{5\pi}{6})

Gib die möglichen Winkel an im Bereich [0°,360°[:

 b) \sin(\alpha)=-\frac{1}{2}\sqrt{3}  

 3. Exponentialfunktion und Logarithmus

Berechne \log_{a^{2}}(a^{3})

 4. Stochastik

 In jeder zehnten Packung einer Tafel Schokolade hat ein Hersteller einen kleinen Gewinn untergebracht. Wie viele Packungen Schokoldae muss man kaufen, um emit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens eine Packung mit Gewinn zu ergattern?

V. Lösungen

1. Radius der Kugel: a/2. Volumen: V=\frac{4}{3}\pi(\frac{a}{2})^{3}=\frac{1}{6}a^{3}\pi.

Oberfläche: $O=a^{2}\pi$. Anteil am Volumen: \frac{\frac{1}{6}a^{3}\pi}{a^{3}}=\frac{\pi}{6}.

2. a) \frac{1}{2}  b)  240 ° bzw. 300° 

3. \frac{3}{2}

4. P(mindest. 1)=1-P(0)=1-(0,9)^{n}\geq0,95 Es folgt: n\geq\frac{\log(0,05)}{\log(0,9)}>28

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3 Antworten to “Lehrplan 10. Klasse 8-jähriges Gymnasium (I)”

  1. Antje Behler said

    Sehr informativ, hab aber unter Klasse 10 den Grenzwertbegriff und Ableitungsfunktionen nicht finden können. Sinus etc., Kugel usw. wurden an unserer Schule bereits in Klasse 8 und 9 behandelt.
    Mit freundlichen Grüßen,
    Antje Behler

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