Mathekram

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Pythagoras mit Vektoren

Posted by Modulix - Januar 29, 2008

Der Satz des Pythagoras schreibt sich in der Sprache der linearen Algebra wie folgt:

Seien v und w zwei Vektoren in einem euklidischen Vektorraum V, die orthogonal zueinander sind.

Dann folgt: |v|2 + |w|2=|v+w|2

vektoren1.jpg Der Beweis ist denkbar einfach, weil man in einem euklidischen Vektorraum das Skalarprodukt hat:

Das Skalarprodukt ist nach Voraussetzung (v und w orthogonal zueinander) für die beiden Vektoren gleich 0.

Die Norm der Vektoren ist über das Skalarprodukt definiert durch |v|2=<v,v>.

Daher folgt:

|v+w|2=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=

|v|2+2<v,w>+|w|2=|v|2+0+|w|2= |v|2+|w|2

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Eine Antwort to “Pythagoras mit Vektoren”

  1. Danke für den schnellen Beweis

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