Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Eine Gegenbeispiel in der Analysis

Posted by Modulix - Oktober 4, 2007

Es gibt reelle Funktionen, die nicht einmal stetig sind, aber deren Richtungsableitungen alle trotzdem existieren:

f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} für (x,y)\neq(0,0) und f(0,0)=0.

Dass diese Funktion im Punkt (0,0) nicht einmal stetig ist, kann man wie folgt zeigen:

Betrachten wir die Kurve y=x^{2}. Es gilt: f(x,x^{2})=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. Offensichtlich ist die Funktion demnach nicht stetig auf dieser Kurve, weil sie auf dieser Kurve den Wert 1/2, aber im Punkt (o,o) den Wert 0 hat.

Jetzt zu den Richtungsableitungen: Betrachten wir eine beliebige Richtung um den Punkt (0,0), also die Richtung (cos\alpha,sin\alpha) und stellen den Differenzenquotienten für diese Richtung auf:

\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)}{t}=\frac{1}{t}\cdot\frac{t^{2}\cos^{2}\alpha\cdot t\sin\alpha}{t^{4}cos^{4}\alpha+t^{2}\sin^{2}\alpha}

Wir kürzen: \frac{1}{t}\cdot\frac{\cos^{2}\alpha\cdot tsin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha}

Hier ist eine Grenzwertbildung ohne Probleme möglich:

\lim\frac{f(tcos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}.

An dem letzten Wert sieht man, dass noch eine Betrachtung notwendig ist, wenn $\sin\alpha=0$ (also auf den Koordinatenachsen selbst). Aber hier zeigt sich sofort:

\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{t^{5}}=0.

(Das Beispiel habe ich aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann).

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Eine Antwort to “Eine Gegenbeispiel in der Analysis”

  1. Wetie Nöcher said

    Da frage ich mich beim Lesen von mathekram.wordpress.com ja schon, ob man selbst nicht komplett bescheuert war. Herzlichen Dank für eure Erklärungen

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