Mathekram

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Archive for Oktober 2007

Potenzen und Wurzeln (9. Klasse G8): Rationalmachen des Nenners

Posted by Modulix - Oktober 24, 2007

In der 9. Klasse (G8-Bayern)  werden bereits Potenzen mit rationalen Exponenten behandelt, also Ausdrücke der Form:

5^{\frac{3}{4}}.

Eines der klassischen Themen ist dabei das Rationalmachen des Nenners bei komplizierten Ausdrücken. Das geschieht durch geeignetes Erweitern. Hier ein Beispiel:

\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{5\cdot\sqrt{7}}{7}=\frac{5}{7}\cdot\sqrt{7}

Für Schüler ist es aber schwieriger, wenn man kompliziertere Exponenten hat:

\frac{5}{7^{\frac{3}{2}}}.

Das geeignete Rezept dafür ist folgendes: Man erweitere immer so, dass die Exponenten im Nenner sich zu einer natürlichen Zahl ergänzen:

\frac{5}{7^{\frac{3}{2}}}=\frac{5\cdot7^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{3}{2}}\cdot7^{\frac{1}{2}}}=\frac{5\cdot7^{\frac{1}{2}}}{7^{2}}=\frac{5}{49}\cdot\sqrt{7}.

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Zehnerpotenzen

Posted by Modulix - Oktober 23, 2007

Ein im Grunde recht simples Thema sind die Zehnerpotenzen.

Im Lehrplan (G9) der bayerischen Gymnasien wird das in der 10. Klasse behandelt, im G8-Lehrplan stößt man darauf bereits in der 8. Klasse.

Die Zehnerpotenzen sind im Dezimalsystem  naturgemäß besonders leicht zu handhaben, aber trotzdem ist es aufallend, wie schwer sich die Schüler doch damit tun.

Ich habe heute einmal die Aufstellung aller Bezeichnungen für Zehnerpotenzen aufgeführt und noch ein paar Beispiele mit den Schülern diskutiert, weshalb es sinnvoll und praktisch ist, damit umgehen zu können.

Wer z.B. weiß schon so genau, was unter dem Hype Zauberwort „Nano“ genau zu verstehen ist?

Schülerinnen und Schüler (Alter etwa 16 Jahre) aus dem Gymnasium sollten das eigentlich wissen.

Wer diese Bezeichungen kennt, kann sich überlegen, ob der Ausdruck:

„Schneid‘ mir mal eine ein Attoparsec dicke Brotscheibe ab!“ einen Sinn ergibt.

(1 Parsec = 3,09 1013 km)

Potenz

Bezeichnung Vorsatz   Potenz Bezeichnung Vorsatz
10-24 Yocto y   101 Deka d
10-21 Zepto z   102 Hekto h
10-18 Atto a   103 Kilo k
10-15 Femto f   106 Mega M
10-12 Piko p   109 Giga G
10-9 Nano n   1012 Tera T
10-6 Mikro μ   1015 Peta P
10-3 Milli M   1018 Exa E
10-2 Zenti C   1021 Zetta Z
10-1 Dezi D   1024  Yotta Y
100            

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Eine Gegenbeispiel in der Analysis

Posted by Modulix - Oktober 4, 2007

Es gibt reelle Funktionen, die nicht einmal stetig sind, aber deren Richtungsableitungen alle trotzdem existieren:

f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} für (x,y)\neq(0,0) und f(0,0)=0.

Dass diese Funktion im Punkt (0,0) nicht einmal stetig ist, kann man wie folgt zeigen:

Betrachten wir die Kurve y=x^{2}. Es gilt: f(x,x^{2})=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. Offensichtlich ist die Funktion demnach nicht stetig auf dieser Kurve, weil sie auf dieser Kurve den Wert 1/2, aber im Punkt (o,o) den Wert 0 hat.

Jetzt zu den Richtungsableitungen: Betrachten wir eine beliebige Richtung um den Punkt (0,0), also die Richtung (cos\alpha,sin\alpha) und stellen den Differenzenquotienten für diese Richtung auf:

\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)}{t}=\frac{1}{t}\cdot\frac{t^{2}\cos^{2}\alpha\cdot t\sin\alpha}{t^{4}cos^{4}\alpha+t^{2}\sin^{2}\alpha}

Wir kürzen: \frac{1}{t}\cdot\frac{\cos^{2}\alpha\cdot tsin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha}

Hier ist eine Grenzwertbildung ohne Probleme möglich:

\lim\frac{f(tcos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}.

An dem letzten Wert sieht man, dass noch eine Betrachtung notwendig ist, wenn $\sin\alpha=0$ (also auf den Koordinatenachsen selbst). Aber hier zeigt sich sofort:

\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{t^{5}}=0.

(Das Beispiel habe ich aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann).

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