Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for September 2007

Noch ein Fields-Medaillist

Posted by Modulix - September 21, 2007

Noch ein Fields-Medaillist gesellt sich in die Runde der Blogger, nämlich Timothy Gowers, der im selben Jahr wie Richard Borcherds die Fields-Medaille erhielt.

Im Gegensatz zu den anderen Fields-Medaillisten behandelt Gowers recht ausführlich didaktische Fragen, die, das wird bei ihm deutlich in erheblicme Maße mit mathematisch-konzeptionellen Fragen in Verbindung stehen. Als Beispiel sei hier nur der Beitrag „How should logarithms be taught?“  erwähnt, in dem er den wahrscheinlich nicht so abwegigen aber selten so klar formulierten Gedanken äußert, dass Mathematiker häufig eher „syntaktisch“ als „semantisch“ denken.

Advertisements

Posted in fieldsmedaille, Mathematiker | Leave a Comment »

Die Mitternachtsformel: Lehrplan 9. Klasse (II)

Posted by Modulix - September 7, 2007

Mitternachtsfomel – das klingt nach Romantik, nach Nächte unterm Sternenzelt …. aber eigentlich heißt diese Formel nur so, weil Lehrer erwarten, dass Schüler diese Formel zu jeder Tages- und Nachtzeit beherrschen sollten. So nüchtern ist die Wahrheit, so profan und wenig reizvoll, dass man sich diese Formel also einfach schnell einbimsen und anschließend hoffentlich dann auch anwenden könnte. Aber tatsächlich hat diese Formel ihren Reiz in vielerlei Hinsicht. Sie ist so etwas wie eine erste Anmutung über das intensive Wechselspiel zwischen Algebra und Geometrie.

Es geht um folgendes: Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

ax^{2}+bx+c=0 in der Unbekannten x. Es gibt zu dieser Gleichung eine, zwei oder keine Lösung (in den reellen Zahlen). Die Formel für die Lösungen lautet:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Von ihrem Vorzeichen bzw. Wert hängt es ab, wie viele Lösungen existieren. Genauer:

Gilt b^{2}-4ac>0, dann folgt: Es gibt zwei Lösungen x_{1,2},

gilt b^{2}-4ac=0, dann folgt: Es gibt eine Lösung x und die lautet: x=-\frac{b}{2a},

gilt b^{2}-4ac<0, dann steht unter der Wurzel eine negative Zahl. In den reellen Zahlen gibt es keine Lösungen für Gleichungen der Form z^{2}=-1, also gibt es keine Lösung.

Geometrisch bedeutet das, dass der Graph der Funktion f(x)=ax^{2}+bx+c in Abhängigkeit der Diskriminante zwei, eine oder keine Nullstellen hat.

Beispiel:

2x^{2}-2x-12=0:

Die Lösungen lauten: x_{1,2}=\frac{+2\pm\sqrt{4-4\cdot 2\cdot(-12)}}{2\cdot2}=\frac{2\pm\sqrt{100}}{4}=\frac{2\pm 10}{4}.

Also erhalten wir:

x_{1}=3 und x_{2}=-2.

Prominentes Beispiel, der Goldene Schnitt:

Die Nullstellen des Polynoms x^{2}+x-1=0 ergeben sich gemäß der „Mitternachtsformel“: x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.

Der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Teilverhältnis. Ein Strecke wird im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt, wenn gilt: Die kleine Strecke verhält sich zur großen wie die große zur gesamten Strecke.

\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}, es folgt: x^{2}+x-1=0. Das ist das Polynom von oben.

Eine der beiden Lösungen ist positiv, die andere negativ. Der goldene Schnitt ist die positive Lösung.

Herleitung der Mitternachtformel:

Die Herleitung erfolgt mit quadratischem Ergänzen, d.h. wir basteln zuerst eine binomische Formel und müssen dies wieder zurecht biegen, so dass die Gleichung, von der wir ausgegangen sind, wieder stimmt:

Wir starten mit einer quadratischen Gleichung (wobei die Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sein sollen)

ax^{2}+bx+c=0

Ausklammern von a:

a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c=0

In der Klammer steht ein Teil einer binomischen Formel. Das wird jetzt noch einmal hervorgehoben, indem mit 2 multipliziert und gleich wieder dividiert wird:

a(x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x)+c=0

Wer es noch nicht erkennt, möge folgende Darstellung betrachten:

a(x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+\underbrace{(\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}}_{=0})+c=0

Wir haben den Term (\frac{b}{2a})^{2} dazu addiert und gleich wieder abgezogen. Jetzt wird aber klar erkennbar, dass die ersten drei Terme in der Klammer sich gemäß der binomischen Formel zusammenfassen lassen:

a(\underbrace{(x+\frac{b}{2a})^{2}}_{=x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^{2}}-(\frac{b}{2a})^{2})+c=0

Jetzt lösen wir die äußere Klammer auf:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}-a\cdot(\frac{b}{2a})^{2}+c=0

Wir führen jetzt die Quadrierung von (\frac{b}{2a})^{2} durch:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}-a\cdot\frac{b^{2}}{4a^{2}}+c=0

Kürzen:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c=0

Wir wollen jetzt nach x auflösen. Wir bringen den Term, in dem die Unbekannte x nicht vorkommt, auf die andere Seite:

a(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a}-c

Jetzt teilen wir durch a:

(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}

Die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner:

(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

Wir ziehen die Wurzel. Bekanntlich gibt es dann zwei Lösungen, die wir mit dem plus/minus-Zeichen angeben.

x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

Den Term ohne x auf der linken Seite nach rechts gebracht.

x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}

Im Nenner unter der Wurzel steht ein qudratischer Ausdruck, also können wir die Wurzel ziehen:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Jetzt noch auf einen Bruchstrich gebracht ergibt das die Mitternachtsformel:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Posted in G8-Themen, Schulmathematik | 15 Comments »

Lehrplan Mathematik 9. Klasse (I)

Posted by Modulix - September 3, 2007

Bildung ist in Deutschland bekanntlich Ländersache. Daher gibt es für jede Schulform 16 Lehrpläne, die wiederum je nach unterschiedlichen Zweigen in den jeweiligen Schulformen (naturwissenschaftlich, oder sprachlich usw.) unterteilt sind.

Vieles zu dem Thema kann auf dem Bildungsserver nachgelesen werden.

Da aber in Bayern und Baden-Württemberg das neue Schuljahr bald beginnen wird und in anderen Bundesländern bereits begonnen hat, ein paar Worte zu den Lehrplänen der 9. Klasse:

Die inhaltlichen Themen in zumindest mir zugänglichen Lehrplänen lauten:

Einführung der reellen Zahlen: Die 9. Klasse ist das Jahr der dritten wichtigen Zahlbereichserweiterung. Nach der Erweiterung der natürlichen Zahlen \mathbb{N} auf ganze Zahlen \mathbb{Z} und anschließend auf rationale Zahlen (=Bruchzahlen) \mathbb{Q} kommt der nächste große Schritt zu den reellen Zahlen \mathbb{R}. Die Notwendigkeit der Erweiterung ergibt sich aus der geometrischen Tatsache, dass schon die Diagonale im (Einheits-)Quadrat keine rationale Zahl sein kann. Das heißt, dass die Irrationalität von Wurzel 2 (\sqrt{2}) gezeigt wird. Eine typische Charakterisierung von irrationalen Zahlen ist auch die folgende: Eine reelle Zahl ist genau dann irrational, wenn ihre Dezimalentwicklung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Es geht um Gleichungen der Form x^{2}=1 oder x^{2}+x-1=0 und so weiter.

Die gerne auch als Mitternachtsformel bezeichnete Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 wird hergeleitet:

x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

In Bayern werden die Binomischen Formeln erst in der 9. Klasse eingeführt (man kann sie, wie bisher, schon in der 7. Klasse einführen. Sie fristen dort aber ein eher ungebrauchtes Daein. In der 9. Klasse werden sie angewendet, um die oben genannte Formel herzuleiten).

Potenzen auch mit negativen Exponenten  (Ausnahme: In Bayern werden schon rationale Exponenten in der 9. Klasse behandelt, also Ausdrücke der Form: 2^{\frac{2}{3}}, denn in Bayern wurden bereits in der 8. Klasse negative Exponenten eingeführt.)

Pythagoras Den Klassiker der Geometrie lernen die Schüler in der 9. Klasse kennen.

Ähnlichkeit von Dreiecken und geometrischen Figuren allgemein wurde in Bayern schon in der 8. Klasse behandelt, ist aber in anderen Bundesländern ein großes Thema in der 9. Klasse.

Zusammengesetzte Zufallsexperimente

Das ist eine große Neuheit gegenüber dem Lehrplan für das neunjährige Gymnasium. Das gesamte Thema Stochastik ist aber jetzt in allen Lehrplänen in Deutschland gegenstand des Unterrichts. Bisher kannten die Schüler verhältnismäßig leichte Zufallsexperimente (Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu Würfeln, oder eine gerade Augenzahl zu würfeln und ähnliches). Jetzt aber geht es um zusammengesetzte Zufallsexperimente. Beispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit, wird bei dreimaligem Würfeln zuerst eine gerade, dann eine ungerade, und anschließend eine durch 3 teilbare Zahl gewürfelt?

Trigonometrie Auch das ist eine Neuheit: In Bayern (aber auch z.B. in Hessen) wird die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck schon in der 9. Klasse durchgenommen. Das heißt: Begriffe wie sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} und ihre zigfachen Anwendungen werden jetzt ein Schuljahr früher als bisher behandelt.

Raumgeometrie Hier geht es um das Volumen und die Oberfläche von Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel.

Fortsetzung folgt…

Posted in G8-Themen, Schulmathematik | 9 Comments »