Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Warum Nullkommaneunperiode gleich Eins ist

Posted by Modulix - August 22, 2007

Immer wieder, insbesondere in der 6. Klasse, wird den Schülern beigebracht, dass gilt: 0,9999… = 1.

Hochtrabender kann man davon sprechen, dass die Dezimaldarstellung, so wie jede andere b-adische Darstellung, nicht eindeutig ist. Denn es gilt auch: 0,45999999…=0,46.

Ich lasse hier die übliche Schreibweise für Perioden, also 0,\overline{2}=0,2222.... weg, um nicht alle Rechnungen im Latex-Modus scheiben zu müssen.

Hier werden drei Argumente bzw. Beweise für diese Aussage vorgestellt:

Das klassische Argument:

So wird es gerne den 6.Klässlern erklärt (ob sie das verstehen, sei dahin gestellt):

(Gleichung 1) s=0,99999….

(Gleichung 2): 10*s=9,9999…

Jetzt rechnen wir 10*s – s = 9,99999… -0,9999….

Wir erhalten 9*s = 9, also ist s = 1

Das Analogie-Argument:

Man kann leicht ausrechnen: \frac{1}{9}=0,1111...

Außerdem folgt: \frac{2}{9}=0,222....

Damit kann man sagen: \frac{9}{9}=0,999..., aber \frac{9}{9}=1.

Das Argument mit der geometrischen Reihe:

Die Formel für die geometrische Reihe lautet:

1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Damit folgt:

x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}-1 = \frac{x}{1-x}

Nun gilt im Dezimalsystem

0,9999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+...=9\cdot(\frac{1}{10}+(\frac{1}{10})^{2}+(\frac{1}{10})^{3}+...)

Mit der geometrischen Reihe folgt dann:

0,9999... = 9\cdot\frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}

Eine kleine Rechnung der letzten Zeile liefert:

9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}=9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{\frac{9}{10}}= 1.

Übrigens: Auch für das Binärsystem gilt die Aussage: (0,11111…)2 = 1.

Advertisements

Kommentar verfassen

Trage deine Daten unten ein oder klicke ein Icon um dich einzuloggen:

WordPress.com-Logo

Du kommentierst mit Deinem WordPress.com-Konto. Abmelden / Ändern )

Twitter-Bild

Du kommentierst mit Deinem Twitter-Konto. Abmelden / Ändern )

Facebook-Foto

Du kommentierst mit Deinem Facebook-Konto. Abmelden / Ändern )

Google+ Foto

Du kommentierst mit Deinem Google+-Konto. Abmelden / Ändern )

Verbinde mit %s

 
%d Bloggern gefällt das: