Mathekram

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Beweise zur Geometrischen Summenformel

Posted by Modulix - August 19, 2007

Eine der wichtigsten Reihen in der Analysis ist die geometrische Reihe:

\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Die Formel ist eine direkte Konsequenz aus der geometrischen Summenformel:

1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Dabei kann x eine beliebige Zahl (nur ungleich 1) sein (ja man kann dieser Formel sogar einen geeigneten Sinn geben, wenn x ein Operator in einem bestimmten Vektorraum ist, wobei x dann nicht die Identität sein darf). Jetzt ein paar Beweise:

Beweis 1 (Multiplikation):

Es werden die Terme 1+x+x^{2}+...+x^{n} und (1-x) multipliziert:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1+x+...+x^{n}-(x+x^{2}+...+x^{n+1})=1-x^{n+1}.

Wir haben also die Gleichung:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1-x^{n+1}. Dividieren von 1-x auf beiden Seiten liefert die Formel.

Beweis 2 (Induktion 1):

Für n=0 ist die Aussage trivial, dann steht nämlich da: 1=\frac{1-x^{1}}{1-x}=1.

Die Formel sei für n bereits gezeigt. Dann folgt:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}.

Zwei Potenzen auf dem Bruchstrich heben sich weg, wir erhalten also die Gleichung:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}.

Beweis 3 (Induktion 2):

Der Induktionsanfang ist wieder klar. Die Formel sei für n gezeigt. Dann folgt:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=1+x\cdot(1+x+x^{2}+...+x^{n})=1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Jetzt gilt es nur noch, den rechten Term auf einen Nenner zu bringen:

1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-x+x-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}.

Beweis 4 (Rekursion):

Dieser Beweis ist eine Art von Kombination aus den Beweisen 2 und 3: Wir bezeichnen mit Sn die Summe von 1 bis xn:

S_{n}=1+x+x^{2}+...+x^{n}

Wir wissen, dass für die (n+1)ste Summe Sn+1 zwei Identitäten gelten:

S_{n+1}=S_{n}+x^{n+1} und S_{n+1}=1+xS_{n}.

Es folgt: S_{n}+x^{n+1}=1+xS_{n}. Jetzt wird nach S_{n} aufgelöst:

S_{n}-xS_{n}=(1-x)S_{n}=1-x^{n+1}.

Beweis 5 (Polynomdivision):

\begin{matrix}(x^{n+1}-1)&:(x-1)&=&x^{n}+x^{n-1}+...+1\\ -\underline{(x^{n+1}-x^{n})}\\ x^{n}-1\\ -\underline{(x^{n}-x^{n-1})}\\ .... \\ \end{matrix}

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