Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for August 2007

Warum Nullkommaneunperiode gleich Eins ist

Posted by Modulix - August 22, 2007

Immer wieder, insbesondere in der 6. Klasse, wird den Schülern beigebracht, dass gilt: 0,9999… = 1.

Hochtrabender kann man davon sprechen, dass die Dezimaldarstellung, so wie jede andere b-adische Darstellung, nicht eindeutig ist. Denn es gilt auch: 0,45999999…=0,46.

Ich lasse hier die übliche Schreibweise für Perioden, also 0,\overline{2}=0,2222.... weg, um nicht alle Rechnungen im Latex-Modus scheiben zu müssen.

Hier werden drei Argumente bzw. Beweise für diese Aussage vorgestellt:

Das klassische Argument:

So wird es gerne den 6.Klässlern erklärt (ob sie das verstehen, sei dahin gestellt):

(Gleichung 1) s=0,99999….

(Gleichung 2): 10*s=9,9999…

Jetzt rechnen wir 10*s – s = 9,99999… -0,9999….

Wir erhalten 9*s = 9, also ist s = 1

Das Analogie-Argument:

Man kann leicht ausrechnen: \frac{1}{9}=0,1111...

Außerdem folgt: \frac{2}{9}=0,222....

Damit kann man sagen: \frac{9}{9}=0,999..., aber \frac{9}{9}=1.

Das Argument mit der geometrischen Reihe:

Die Formel für die geometrische Reihe lautet:

1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Damit folgt:

x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}-1 = \frac{x}{1-x}

Nun gilt im Dezimalsystem

0,9999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+...=9\cdot(\frac{1}{10}+(\frac{1}{10})^{2}+(\frac{1}{10})^{3}+...)

Mit der geometrischen Reihe folgt dann:

0,9999... = 9\cdot\frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}

Eine kleine Rechnung der letzten Zeile liefert:

9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}=9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{\frac{9}{10}}= 1.

Übrigens: Auch für das Binärsystem gilt die Aussage: (0,11111…)2 = 1.

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Beweise zur Geometrischen Summenformel

Posted by Modulix - August 19, 2007

Eine der wichtigsten Reihen in der Analysis ist die geometrische Reihe:

\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Die Formel ist eine direkte Konsequenz aus der geometrischen Summenformel:

1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Dabei kann x eine beliebige Zahl (nur ungleich 1) sein (ja man kann dieser Formel sogar einen geeigneten Sinn geben, wenn x ein Operator in einem bestimmten Vektorraum ist, wobei x dann nicht die Identität sein darf). Jetzt ein paar Beweise:

Beweis 1 (Multiplikation):

Es werden die Terme 1+x+x^{2}+...+x^{n} und (1-x) multipliziert:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1+x+...+x^{n}-(x+x^{2}+...+x^{n+1})=1-x^{n+1}.

Wir haben also die Gleichung:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1-x^{n+1}. Dividieren von 1-x auf beiden Seiten liefert die Formel.

Beweis 2 (Induktion 1):

Für n=0 ist die Aussage trivial, dann steht nämlich da: 1=\frac{1-x^{1}}{1-x}=1.

Die Formel sei für n bereits gezeigt. Dann folgt:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}.

Zwei Potenzen auf dem Bruchstrich heben sich weg, wir erhalten also die Gleichung:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}.

Beweis 3 (Induktion 2):

Der Induktionsanfang ist wieder klar. Die Formel sei für n gezeigt. Dann folgt:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=1+x\cdot(1+x+x^{2}+...+x^{n})=1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Jetzt gilt es nur noch, den rechten Term auf einen Nenner zu bringen:

1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-x+x-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}.

Beweis 4 (Rekursion):

Dieser Beweis ist eine Art von Kombination aus den Beweisen 2 und 3: Wir bezeichnen mit Sn die Summe von 1 bis xn:

S_{n}=1+x+x^{2}+...+x^{n}

Wir wissen, dass für die (n+1)ste Summe Sn+1 zwei Identitäten gelten:

S_{n+1}=S_{n}+x^{n+1} und S_{n+1}=1+xS_{n}.

Es folgt: S_{n}+x^{n+1}=1+xS_{n}. Jetzt wird nach S_{n} aufgelöst:

S_{n}-xS_{n}=(1-x)S_{n}=1-x^{n+1}.

Beweis 5 (Polynomdivision):

\begin{matrix}(x^{n+1}-1)&:(x-1)&=&x^{n}+x^{n-1}+...+1\\ -\underline{(x^{n+1}-x^{n})}\\ x^{n}-1\\ -\underline{(x^{n}-x^{n-1})}\\ .... \\ \end{matrix}

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Mathematik, Literatur und Urlaub

Posted by Modulix - August 3, 2007

Bevor ich für zwei Wochen in den Urlaub starte, ein paar Lesetipps. Ich beginne dabei mit der Fachliteratur und werde mit der Belletristik enden.

1. Fachbücher:

R. Stanley: Enumerative Combinatorics. Es handelt sich dabei um zwei großartige Bücher, die in die Kombinatorik schnell und vertieft einführen. Besonders erwähnswert ist dabei die inzwischen legendäre Catalan-Aufgabe (die kann man auch hier aus dem Internet herunterladen), in welcher zahlreiche kombinatorische Aufgaben gestellt werden und die Lösung jeweils die Catalan-Zahlen (also Zahlen der Form \frac{1}{n+1} {2n\choose n}) sind. Stanley fragt aber eigentlich nach Isomorphismen zwichen den jeweiligen Problemen. Hier ein paar der Korrespondenzen explizit anzugeben, ist ebenso unterhaltsam wie erhellend. (siehe auch hier für Lösungshinweise zu den Aufgaben)

Hervorzuheben ist auch, dass sich Stanley sehr ausführlich den symmetrischen Funktionen widmet. Dabei werden die Klassiker wie der RSK-Algorithmus (Robinson-Schenstedt-Knuth) genau erklärt und darüber hinaus auch einige Ergebnisse auf „posets“ erweitert. (Merkwürdig: Für den so wichtigen RSK-Algorithmus habe ich keine brauchbare Referenz im Netz gefunden, die online in diesen Algorithmus einführt)

V. Kac: Vertex Algebras for Beginners. Wer jenseits der ausführlichen Vorlesungen zur Konformen Feldtheorie (englisch mit CFT abgekürzt) oder jenseits der zahlreichen Veröffentlichungen zum Thema Monstergruppe und Monstrous Moonshine einmal in die rigorose Behandlung des Themas eindringen möchte, kommt an diesem Buch eigentlich nicht vorbei. Es ist wie ein fröhliches Spiel mit Reihen (die hier freilich nicht konvergieren), an dessen Ende so wesentliche Inhalte wie die Boson-Fermion-Korrespondenz, die KP-Hierarchie oder die Frenkel-Kac-Konstruktion erläutert werden.

Neukirch: Algebraische Zahlentheorie.  Das Buch beginnt mit der einfachen Gleichung 1+1=2, um dies als Ausgangspunkt ür den Zweiquadratesatz zu nehmen, dann geht es weiter bis zum Satz von Grothendieck-Riemann-Roch. Sehr unprätentiös, sehr klar und ohne viel „Handwaving“ wird die Theorie der p-adischen Zahlen erklärt, ein paar Worte über das „eindimensionale Schema“ Spec(\mathbb{Z}) werden gemacht, um dann auch die „geometrische“ Zahlentheorie zu erläutern. Dieses Buch ist die absolute Basisreferenz für alle, die mit algebraischer Zahlentheorie, arithmetischer Geometrie usw. starten wollen.

Turaev: Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds. Aus  diesem Buch kann man all die Begriffe wie modulare gezopfte Tensorkategorie (modular braided tensor category) etc. lernen und viele der Pfeildiagramme, die im Internet in Sachen Kategorifizierung herumschwirren, sind darin enthalten. Es handelt sich außerdem um eine hervorragende Einführung in Knotentheorie, Quantengruppen, das Jones-Polynom und vieles mehr. Leider ist es unsäglich teuer.

2. Sachbücher:

Knut Radbruch: Mathematik in den Geisteswissenschaften. Nett geschrieben, viele Beispiel aus der Musik, der Literatur, der Philosophie usw., in denen Mathematik in den letzten Jahrhunderten eine Rolle gespielt hat.

 Dietmar DathHöhenrausch. Das Buch behandelt 20 Mathematiker aus dem 20. Jahrhundert, wobei die letzte Person eine fiktive Gestalt ist, von der noch zu sprechen ist. Dietmar Dath unternimmt in seinem Buch „Höhenrausch“ einen gewagten Versuch: Mit unterschiedlichen  literarischen Mitteln behandelt er die verschiedenen Biographien, deutet ihre mathematischen Leistungen an, geht auch auf die jeweilige „Wirkungsgeschichte“ ein und schafft so insgesamt ein Buch, das den sonst üblichen Darstellungen über Mathematiker eine erfrischende Unverfrorenheit entgegenstellt. (Ganz verschwiegen kann allerdings nicht werden, dass es in dem Buch ein paar Unrichtigkeiten gibt, die die Lust an der Lektüre trüben können) Was Dath in jeder Weise auszeichnet, und wofür man ihm regelrecht dankbar sein muss, das ist seine Fähigkeit, den polierten Begriffen der Mathematik mitunter großartige Sprachbilder abzugewinnen. So schreibt er über die Differentialgleichungen, dass diese gleichsam die „Augäpfel Newtons“ seien.

Das letzte Kapitel behandelt das Leben der fiktiven jungen Mathematikerin Lena Dieringshofen und das auf recht literarische Weise. Diese hat sich der Kategorifizierung verschrieben. Der Begriff der Kategorifizierung (engl. categorification) ist einer der neuen Träume, denen einige Mathematiker und mathematische Physiker gerne und intensiv anhängen. John Baez hat zu diesem Thema eine regelrechte Jüngerschar herangezogen, die in zahlreichen Blogs  – z.B. dem n-Category-Cafe oder der bedingungslose Mathematiker(unapologetic mathematician) – diesem neuen Traum mit vielen Pfeilen und Diagrammen nachgehen.  (Ein erstes sensationelles Resultat ist der Zugang von Khovanov, siehe dafür den fantastischen Artikel von Bar Nathan)

3. Belletristik:

Hier halte ich mich kurz: Ich nenne einfach gesamte Werk von Thomas Pynchon.

Beispiele: Die Enden der Parabel (engl.: Gravity’s Rainbow) oder auch die letzte Erzählung aus dem Spätzünder. Selbst habe ich noch nicht Against the Day gelesen. Zu diesem (noch nicht auf deutsch vorliegenden) Buch gibt es ein sehr interessantes Wiki.

Bis bald. 

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