Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Lineare Algebra ohne Determinanten?

Posted by Modulix - Juli 30, 2007

Die Provokation:

Sheldon Axler, ein Professor für Mathematik an der Universität in San Francisco, hat sich vor mehr als 10 Jahren einmal erlaubt, den Mund recht voll zu nehmen. In einem bewusst polemisch gehaltenen Artikel mit dem Titel „Nieder mit Determinanten“ (Down with determinants) sowie in einem Lehrbuch mit dem Titel „Lineare Algebra, richtig gemacht“ (linear algebra done right) erklärt er, dass die Eigenwerttheorie von Endomorphismen endlich dimensionaler Vektorräume den Studenten nur so geeignet beigebracht werden kann, indem man möglichst weiträumig das Thema Determinanten ausspart.

Wirkungsgeschichte:

Man kann sich natürlich streiten, ob nun wirklich relevant ist, was ein Professor einer nicht sonderlich bekannten amerikanischen Westküsten-Uni vor mehr als einer Dekade von sich gegeben hat. Aber interessanter wird es, wenn man sieht, was in den einschlägigen Blogs dazu gesagt wird, oder um genauer zu sein, was erst vor ein paar Monaten dazu gesagt wurde.

Im n-Category-Cafe wird dazu eine längere Diskussion geführt. Kurz darauf wird im noncommutativegeometry-Blog (also dem Blog der Freunde von Alain Connes) der Schlachtruf „Lange leben die Determinanten“ ausgerufen. Und es werden zahlreiche Beispiele genannt, die den Sinn von Determinanten unterstreichen sollen.

Die Argumente von Axler sind in erster Linie didaktischer (besser: hochschuldidaktischer) Natur. Es geht ihm darum, dass seine Studenten möglichst schnell wesentliche Aussagen und die Beweise der Eigenwerttheorie kennen lernen. Der Begriff und die benötigten Eigenschaften der Determinante scheinen ihm dabei umständlich und zeitvergeudend.

Axler geht es insbesondere um die Aussage: Jeder Endomorphismus A\in End(V) (wobei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, also typischerweise \mathbb{C}) hat einen Eigenwert.

Axlers Beweis kommt ohne den Begriff des charakteristischen Polynoms p_{A}(x) und ohne dessen Determinantendefinition p_{A}(x)=\det (xI-A) aus. (Ich erläutere den Beweis am Ende)

Interessant ist dabei, dass in den Erwiderungen aus den Blogs nur sehr wenig auf Axlers didaktisches Argument eingegangen wird. (Axler bezweifelt ja nicht, dass Determinanten relevant sind, in seinem Buch werden sie im letzten Kapitel durchaus noch behandelt). Interessant ist aber auch, dass der Begriff der Quasideterminanten von den Bloggern (und mithin vielleicht von der ganzen Mathematikerschar?) praktisch überhaupt nicht diskutiert wird, obwohl es doch diesem Teil der mathematischen Blogosphäre ganz besonders um nichtkommutative Strukturen geht. Gerade diejenigen, die mit dem Thema Kategorifizierung beschäftigt sind, müssten an dem Begriff der Quasideterminanten besonderes Interesse haben. (Tatsächlich gibt es einen Mathematiker aus dieser Ecke, nämlich Alexander Polishchuk, der in einem Artikel die Formel zur Berechnung einer 2×2-Quasideterminante bei der Untersuchung von Vektorbündeln benutzt hat.)

Quasideterminanten, was ist das?

Israel Gelfand und V. Retakh haben den Begriff der Quasideterminante (englisch: quasideterminant) eingeführt. Dieser Artikel ist zur Einführung gut geeignet.

Bei diesen mathematischen Gebilden handelt es sich um eine sehr spezielle Verallgemeinerung der Determinanten auf nichtkommutative Körper (auch auf nichtkommutative Ringe). Diese Verallgemeinerung bietet gegenüber bisher bekannten Verallgemeinerungen (wie etwa die Dieudonne-Determinante) den Vorteil, dass man die Cramersche Regel zur Lösung von Gleichungssystemen nichtkommutativer Variablen benutzen kann. Außerdem gilt ein analoger Satz von Cayley-Hamilton und noch vieles andere mehr. Ganz besonders ist die Anwendung auf Fragen nach nichtkommutativen symmetrischen Funktionen hervorzuheben. Auch im Bereich endlicher Automaten dienen die Quasideterminanten als nützliches Beschreibungsinstrument. (siehe dafür den nicht online verfügbaren Artikel in Advances in Math. 112 (1995), no. 2, Seiten 218–348.)

Axlers Beweis: (Kurze Skizze)
Ausgehend von einem n-dimensionalen Vektorraum V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper betrachten wir einen Endomorphismus A:V –>V. Sei v ein beliebiger Nichtnull-Vektor. Betrachte die Vektoren v, Av, A2v, …, An. Diese Vektoren müssen (weil es sich um n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum handelt) linear abhängig sein. Es folgt also, dass es Koeffizienten ai gibt (die nicht allesamt null sein können), so dass gilt:0=(a_{0}+a_{1}A+a_{2}A^{2}+...+a_{n}A^{n})v. Dieses „Polynom“ können wir faktorisieren:

0=c(A-\lambda_{1}I)...(A-\lambda_{m}I)v

Somit ist einer der $(A-\lambda_{i}I)$ nicht injektiv, also eines der Nullstellen des Polynoms ein Eigenwert. (q.e.d?)

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