Mathekram

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Das G8 und der Pythagoras

Posted by Modulix - Juli 26, 2007

Mit dem G8 (so die Kurzbezeichung in Bayern für das achtjährige Gymnasium) ändert sich der Lehrplan zum Teil erheblich. In der 9. Klasse (in die der erste Jahrgang des G8 im September kommen wird) wird sich auch manches ändern, aber der Satz des Pythagoras als eines der zentralen Theoreme wird bleiben.

Gemäß dem bisherigen Lehrplan war es naheliegend, den Satz des Pythagoras mit den Ähnlichkeitssätzen zu beweisen, weil das vorherrschende Thema der Geometrie in der 9. Klasse zentrische Streckung und ähnliche Figuren waren.

Der Beweis war an sich eine leichte Übung, die zahlreichen anderen Beweisvarianten für den Pythagoras wurden freilich in der Praxis entweder gar nicht erwähnt oder nur als Fußnote behandelt. Aber gerade für den Pythagoras gibt es viel einfachere Beweise, die im G8 m.E. endlich zur Geltung kommen könnten. Die zentrische Streckung wird bereits in der 8. Klasse (G8-Lehrplan) behandelt, auf diese kann man also nicht mehr so unmittelbar aufbauen wie früher.

Kürzlich ist mir das neue Schulbuch vom Cornelsen-Verlag („Fokus Mathematik 9“) in die Hand gefallen.

Die Autoren nennen den bekannten Beweis von Garfield. Der Trick besteht bei diesem Beweis darin, die Fläche eines Trapezes auf zwei verschiedene Weisen auszurechnen und die Ergebnisse gleichzusetzen, dann ergibt sich die bekannten Formel:

Garfieldbeweis  A =  Fläche des Trapezes gemäß der Flächenformel undA =  Fläche von zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken und einem dritten rechtwinkligen Dreieck 

Mir ist allerdings nicht klar, warum die Autoren des Buches gerade diesen Beweis ausgesucht haben. Zwar werden noch andere etwas später erwähnt, aber dieser Beweis ist nicht sonderlich ingeniös, er ist außerdem eine Art „halbe Kopie“ des viel bekannteren Ergänzungsbeweises (dessen entscheidende Figur unten abgebildet ist) und er lässt kein Konzept erkennen.

Die einzige Erklärung, die ich habe, ist die, dass man diesen Beweis narrativ verknüpfen kann. Denn man kann erzählen, dass ein amerikansicher Präsident diesen Beweis erstellt, er ist also mit einem Namen verknüpft. Aber ist das an dieser Stelle wirklich beabsichtigt? Immerhin hat der Satz bereits einen Namen.

Hier ist die entscheidende Figur für den klassischen Beweis:

Pythagoras

Man erkennt leicht, dass es sich um ein großes Quadrat mit vier kongruenten rechtwinkilgen Dreiecken und einem Quadrat der Seitenlänge c handelt.

Wegen (a+b)^{2} = 4\cdot \frac{a\cdot b}{2} + c^{2} (Berechnung der Fläche des großen Dreiecks auf zwei verschiedene Weisen: einerseits als Produkt aus den Seitenlängen, andererseits  zusammen gesetzt aus 4 Dreiecken und einem kleinen Quadrat) folgt die bekannte Gleichung.

Ich bin gespannt auf die anderen Lehrbücher.

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3 Antworten to “Das G8 und der Pythagoras”

  1. Hallo,
    ich bin auch ein Fan dieses Beweises.
    Wer mag, kann ja mal auf meine Homepage http://www.magnetfolienset.de gucken, da kann man u.a. diesen und ähnliche geometrische Beweise herunterladen.

    mfG
    G.M.

  2. lyy said

    g 8 heißt nich nur in BAYERN G8! oder bin ich etwas lowen?

  3. Schön zu hören, dass der Satz des Pythagoras erhalten bleibt 🙂

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