Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?

Posted by Modulix - Juli 22, 2007

Die so einfache Frage, mag manche, die sich mit Mathematik intensiv beschäftigen, langweilen.

Aber von einer didaktisch-pädagogischen Perspektive ist die Frage nicht ganz so einfach. Die folgende Liste von Antworten erhebt natürlich nicht Anspruch auf Vollständigkeit. Wer noch weitere Antworten kennt, ist herzlich eingeladen, diese Liste zu verlängern. (Die ersten beiden hier gegebenen Argumente findet man auch im Lehrerarchiv. )

1. Das (algebraische) Argument von Freudenthal

Das ist der Klassiker, der sich auch in manchen Didaktikbüchern findet. Wir gehen aus von den beiden Gleichungsumformungen:

 (-3)+3=0 | *4 ergibt: (-3)*4 + 3*4 = 0

sowie

(-4)+4=0 | * (-3) ergibt:  (-4)* (-3) + 4* (-3) = 0

In beiden Gleichungen taucht der Term 4*(-3) auf, die beiden Gleichungen ergeben auch 0, also kann nur gelten:

(-4)*(-3)= 3*4.

Das Argument ist stimmig, verlangt aber die Fähigkeit, lediglich formal mit den Rechengesetzen (Distributivgesetz, Kommutativgesetz) zu operieren. Ob das Schüler kognitiv in der 5. Klasse bewältigen, ist eine andere Frage.

2. Das Argument der konstanten Abstände

Wir gehen etwa aus von der Gleichung

3*(-4) = -12. Jetzt erniedrigen wir den ersten Faktor und erhalten:

2*(-4) =  -8 (Das Ergebnis ist um 4 größer). 

1*(-4) =  -4 (wieder +4)
0*(-4) =   0 (ebenso +4) Jetzt kommt der entscheidende Schritt:
(-1)*(-4) =   4  (das muss ja dann zwangsläufig so sein, oder nicht?)
3. Das Pfeile-Argument an der Zahlengeraden

Wir betrachten die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und ziehen Pfeile von Null (0) bis zu der Zahl. Die Länge des Pfeils ist der Betrag der Zahl. Das Multiplizieren einer positiven Zahl mit einer ganzen Zahl bedeutet Aneinanderhängen der Pfeile zu einem langen Pfeil.

Das heißt: 4*3 bedeutet: —>—>—>—>, also einen Gesamtpfeil der Länge 12 nach rechts: ————>

Rechnet man nun (-1)*3 so dreht man den Pfeil um. Aus —> wird <—.

Der erste Faktor wirkt also wie eine Art „Operator“.

Dann wird klar, dass (-4)*(-3) bedeutet, dass man aus

<— den Pfeil —>—>—> = ————> macht.

Der Vorteil dieser Begründung liegt darin, dass dieses Argument „handlungsorientiert“ vermittelt werden kann. Das Aneinanderhängen von Pfeilen muss wirklich gezeichnet werden. Außerdem zeigt dieser vektorielle Zugang noch einmal die Bedeutung der Vorzeichen auf.

4. Das ästhetische Argument  

Betrachten wir die Multiplikationstabelle

mal +
+ +
?

Es stellt sich nun die Frage, was man für das Fragezeichen hineinschreiben soll. Wenn man ein Minus (-) hinschreibt, so gibt es ein Übergewicht an Minuszeichen. Aus Gründen der Ausgewogenheit ist eher ein Plus (+) zu setzen.

Die naheliegende Kritik ist natürlich, dass das wenig mit Mathematik zu tun hat. Andererseits hat Mathematik schon viel mit Symmetrie und Ästhetik zu tun.

5. Das algebraische Argument

Wollen wir annehmen, dass gilt:

 (-1)\cdot (-1) = -1.

Teilen wir nun durch (-1), so erhalten wir:

 -1 = +1.

In unserem Zahlbereich ist aber -1 \neq 1, daher war unsere Voraussetzung falsch.

[Für die Experten: Im Körper \mathbb{F}_{2} (und seinen Verwandten) führt diese Überlegung übrigens nicht zu einem Widerspruch, denn hier gilt tatsächlich 1+1 =0]

Im Unterricht wäre eine Aufzählung mehrere Argumente (aber zu verschiedenen Zeitpunkten) wahrscheinlich das Empfehlenswerteste.

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18 Antworten to “Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?”

  1. Hallo Matematik blätter plus und minus

  2. […] die Mathematik den Boden der totalen Anschaulichkeit verlässt. Brauchbare Erklärungen finden sich hier. […]

  3. klassikertanzen said

    ich würde einfach diesen link vorschlagen das Video erklärt schon einiges

  4. eaglebonn said

    Man kann vielleicht erklären, dass „Minus mal Minus gleich Plus“, indem man sich daran erinnert, dass eine Multiplikation „höhere“ Form der Addition ist. Denn dann ist es ganz einfach zu verstehen, warum z.B. (-3) * (-2) = (+6) ist. Jetzt die Herleitung:

    Man muss sich zuvor nochmals klarmachen, dass z.B. (-5) minus (-3) gleich (-2) ist. Also Minus minis Minus wirkt wie Minus minus Plus. Das kann man sich am besten am Zahlenstrahl klar machen ( soll (+1) sein.

    <–<–<–<–<– (-5) minus
    <–<– (-2) gleich
    <–<–<– (-3)

    Minus (-2) hat die gleiche Auswirkung, wie (+2):

    <–<–<–<—-> (+2) gleich
    <–<–<– (-3)

    Also, kann man sagen, dass in der Addition minus Minus die Wirkung hat, als würde man mit einem Plus rechnen.

    Aber wie kommt man darauf, dass Minus mal Minus Plus ist? Das kann man verständlich machen, indem man sich daran erinnert, dass der Multiplikation einer Addition zu Grunde liegt, wie man zeigen kann:

    (-3) * (-2) = (+6) , das heißt in einem ersten Schritt, dass wir 3 mal (-2) haben, also ((-2) + (-2) + (-2)),
    was zusammen gerechnet (-6) macht. Jedoch hat der Multiplikator ein negatives Vorzeichen, deshalb müssen wir schreiben:
    – ((-2) + (-2) + (-2)) = – (-6). Minuns Minus macht plus, also (+6).

    Oben konnte man sehen, dass minus Minus wie plus wirkt.

    <—-<——–>—-> wird zu (+6)

    • eaglebonn said

      Hallo, ich melde mich zum eigenen Beitrag: Also ich bin neu hier und konnte nicht wissen, dass die Zeichen verrutschen, nachdem man den Beitrag abgeschickt hat. Deshalb sind die Zahlenstrahle (–> und <—) leider nicht so wieder gegeben, wie ich sie eingetippt habe. Aber ich denke, die Sache wird trotzdem klar.

  5. Holger said

    Also ich habe dazu folgende Erklärung, die auf der Anschaulichkeit der Steigung einer Geraden im Koordinatensystem beruht:

    Stellen wir uns die Abb. einer Geraden mit der Steigung 1 vor…..
    Unser Koordinatnesystem beruht auf der Festlegung das steigende Zahlen auf der Abzisse von links nach rechts laufen und steigende Geraden von links unten nach rechts oben verlaufen.

    erhöht man die Werte der Geraden auf der X-Achse um positive Were ( +1, +2 etc. ) läuft man die Gerade hinauf da sich ja auch die Y-Werte jeweils um den gleichen Betrag erhöhen
    ( 1 nach recht und 1 nach oben = positive Verhältnisse schaffen + Veränderungen )

    ändert man die Richtung und verringert den x-wert (z.Bsp. -1 ), verringert sich auch der Y-Wert und nimt einen negativen Wert an ( x-Koordinate -1 nach links und y-Koordinate -1 nach unten )

    ABER: eindeutig und anschaulich ist doch, dass die positive Steigung der Geraden bestehen bleibt, egal in welcher Richtung man sich auf ihr bewegt.

    Das gleicht gilt natürlich auch für die Beziehung von + und – Werten auf Geraden mit negativer Steigung. + * – ergibt immer die gleiche negative Steigung.
    .

  6. Malinda said

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    • Aileen said

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  8. martin.zentgraf said

    warum ergibt ( – ) x ( – ) = ( + ) ?

    -100 bedeutet zum beispiel 100€ schulden. 3 x (- 100) das dreifache.
    das gleiche resultat ergibt sich beim 100fachen von 3€ schulden.
    3 x (- 100) = (- 3) x 100
    dem resultat ist es egal, welche zahl hier für das vervielfachen und welche für die schulden steht.
    negatives vervielfachen oder die multiplikation mit einer negativen zahl sollte also das vorzeichen umkehren.
    dann sollte ( – ) x ( – ) = ( + ) ergeben.

  9. Johnd852 said

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    Multiplikation ist eine andere Form von Addition, nicht wahr?
    2 × 4 = 4 + 4
    Dann müsste doch auch so sein
    (-2) * (-4) = (-4) + (-4) = -4 – 4 = -8

    klärt mich gern auf, hat mich in den letzten Stunden etwas beschäftigt.

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  12. Hallo, ich habe alle 5 Argumente oben durch gelesen. Die Überschrift lautet ,,Warum ist minus mal minus plus“ aber die Argumente zeigen einem nur ..Minus mal Minus ist Plus“. Also ist die Überschrift nicht korrekt. Denn nur ,weil gezeigt wurden ist das Minus mal Minus Plus ist, heißt es noch nicht das es erklärt wurde.

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