Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Körper mit einem Element (I)

Posted by Modulix - Juli 16, 2007

Von einem „Gespenst“ sprach vor etwa drei Jahren ein Professor für arithmetische/ algebraische Geometrie bei einem Bewerbungs-Vortrag in München, das in der algebraischen Geometrie umgehe – es sei das Gespenst des Körpers mit nur einem Element.
Einige der Zuhörer schienen sehr überrascht, denn ein Körper mit nur einem Element (?) erscheint auf den ersten Blick
a) uninteressant und
b) seine Existenz irgendwie fragwürdig.

Inzwischen allerdings hat am höchst renommierten IHES (der französischen Version des Institute of Advanced Studies) eine Konferenz zu genau diesem Thema stattgefunden, so dass das „Gespenster“-hafte des Körpers mit einem Element gewichen ist und das „Körperchen“ dafür plötzlich die Weihen ernsthaften Interesses weltberühmter Mathematiker erhält.

An dieser Konferenz haben u.a .  Y. Manin und M. Kontsevich (!!) teilgenommen.

Inzwischen ist ein erstes Ergebnis zu dem Thema als preprint erhältlich: Ein neuer Zugang zur Arakelov-Geometrie, in dem der Körper mit einem Element eine Rolle spielt, von N. Dourov (der auch an der Konferenz teilgenommen hat).

Zu diesem Artikel gibt es im n-Category-Cafe eine interessante Diskussion.

Bei dem gesamten Thema handelt es sich um eine durchaus kompliziertes Sache. Allerdings gibt es einen Artikel im American Mathematical Monthly von Henry Cohn in der Juni/ Juli-Ausgabe des Jahres 2004 (genauer: Band 111), in dem das Thema von einer recht verständlichen Seite her aufgezogen wird.

Dazu aber muss man sich mit dem Thema der endlichen einfachen Gruppen befassen: 

Es gibt nach dem Klassifikationssatz folgende endliche einfache Gruppen:

a) die zyklischen (somit abelsche Gruppen) mit Primzahlordnung,

b) die Familie der altenrnierenden Gruppen A5, A6, A7, ….,

c) die Familie der Gruppen vom Lie-Typ

d) die sporadischen Gruppen.

Cohn möchte die alternierenden Gruppen An als Matrixgruppen über einem Körper definieren. Dieser Körper ist der Körper mit einem Element

Das heißt, es soll gelten: An= PSL(n,F1)
Geometrischer gesprochen: Es wird ein n-dimensionaler projektiver Raum über dem Körper mit einem Element definiert. Die Gruppe der Automorphismen dieses projektiven Raums ist dann An

Es bleibt abzuwarten, was es noch für Resultate in dieser Richtung geben wird. Auf jeden Fall wird das Thema längst nicht mehr als „Gespenst“ durch die Hallen der Mathematikinstitute poltern.

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3 Antworten to “Körper mit einem Element (I)”

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  3. Öhm… Also mein LA-Prof hat den Körper mit einem Element vollkommen selbstverständlich in der Vorlesung als Beispiel genannt, so als wäre die Existenz 1.vollkommen trivial und 2.seit anno 1900 bekannt…

    Und die 5 Körperaxiome gelten doch… Kann jeder nachrechnen…

    Prof Plesken meinte, der Körper mit nur einem Element sei der einzige, wo das Nullelement gleich dem EInselement ist (also die beiden Inversen bzgl der beiden Verknüpfungen identisch), deswegen nannte er ihn als Bsp

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