Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archive for Juli 2007

Quintura, Suchmaschinenalgorithmen und Lineare Algebra

Posted by Modulix - Juli 31, 2007

Das erste Mal, als ich bei Quintura hineingeklickt habe, war ich überwältigt. Gibt man einen Begriff ein, so erhält man neben einer (auch bei google erhältlichen) Trefferliste eine Wolke von Begriffen, die mit dem eingegebenen ursprünglichen Suchbegriff in inhaltlicher Beziehung stehen. Die Experten nennen das dann eine Tag Cloud, also frei übersetzt eine Themenwolke. Grundprinzip ist dabei die im Hintergrund betriebene Erstellung eines semantischen Netzes, das die (wie, bleibt mir unklar) inhaltliche Nähe der Begriffe wiederspiegelt. Klickt man auf die anderen Begriffe, ergibt sich wieder eine Begriffswolke, die wiederum die beiden angewählten Begriffe (ursprünglicher udn angeklickter Begriff) „umtanzt“.

Ein bisschen unbeholfen arbeitet Quintura noch bei deutschsprachigen Begriffen, aber auch hier ergeben sich immer wieder interessante Assoziationsketten. Gut finde ich, dass Quintura eine eigene Seite für Kinder aufgebaut hat. Für Frauen ist ebenfalls eine Seite in Planung, inwiefern sich diese von der üblichen Quintura-Suchmaschine unterscheiden soll, weiß ich allerdings nicht.

Neben den bisherigen Suchmaschinenalgorithmen wird hier etwas völlig neues entwickelt, das den Suchmaschinen bestimmt einen Quantensprung in ihrer Leistungsfähigkeit sowie Brauchbarkeit bescheren wird.

Suchmaschinenalgorithmen stellen für sich bereits einen enormen Erwerbszweig und eine eigene Wissenschaft dar, die natürlich auch viel mit Mathematik zu tun hat.

Der PageRank-Algorithmus (nach Larry Page benannt)  z. B. kann als Lösung eines Gleichungssystems verstanden werden: Mv=b, wobei M eine nxn-Matrix sowie v und b Vektoren der Länge n sind. Die Matrix M gibt dabei die Verlinkungsstruktur (mathematsicher: die Inzidenzstruktur) einzelner Seiten wieder.

Wie bei einer ganz normalen Gleichung mit Zahlen, kann man zur Berechnung des unbekannten Objekts v, einfach M auf „die andere Seite bringen“, sofern M invertierbar ist, was bei den Verlinkungen der Fall ist:

v=M^{-1}b.

Abhängig von der Größe der Matrix sind numerische Verfahren der expliziten Berechnung der inversen Matrix vorzuziehen. Interessant wäre es, zu erfahren, welche Algorithmen Quintura einsetzt….

Advertisements

Posted in Lineare Algebra, Netzwelt | Leave a Comment »

Lineare Algebra ohne Determinanten?

Posted by Modulix - Juli 30, 2007

Die Provokation:

Sheldon Axler, ein Professor für Mathematik an der Universität in San Francisco, hat sich vor mehr als 10 Jahren einmal erlaubt, den Mund recht voll zu nehmen. In einem bewusst polemisch gehaltenen Artikel mit dem Titel „Nieder mit Determinanten“ (Down with determinants) sowie in einem Lehrbuch mit dem Titel „Lineare Algebra, richtig gemacht“ (linear algebra done right) erklärt er, dass die Eigenwerttheorie von Endomorphismen endlich dimensionaler Vektorräume den Studenten nur so geeignet beigebracht werden kann, indem man möglichst weiträumig das Thema Determinanten ausspart.

Wirkungsgeschichte:

Man kann sich natürlich streiten, ob nun wirklich relevant ist, was ein Professor einer nicht sonderlich bekannten amerikanischen Westküsten-Uni vor mehr als einer Dekade von sich gegeben hat. Aber interessanter wird es, wenn man sieht, was in den einschlägigen Blogs dazu gesagt wird, oder um genauer zu sein, was erst vor ein paar Monaten dazu gesagt wurde.

Im n-Category-Cafe wird dazu eine längere Diskussion geführt. Kurz darauf wird im noncommutativegeometry-Blog (also dem Blog der Freunde von Alain Connes) der Schlachtruf „Lange leben die Determinanten“ ausgerufen. Und es werden zahlreiche Beispiele genannt, die den Sinn von Determinanten unterstreichen sollen.

Die Argumente von Axler sind in erster Linie didaktischer (besser: hochschuldidaktischer) Natur. Es geht ihm darum, dass seine Studenten möglichst schnell wesentliche Aussagen und die Beweise der Eigenwerttheorie kennen lernen. Der Begriff und die benötigten Eigenschaften der Determinante scheinen ihm dabei umständlich und zeitvergeudend.

Axler geht es insbesondere um die Aussage: Jeder Endomorphismus A\in End(V) (wobei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, also typischerweise \mathbb{C}) hat einen Eigenwert.

Axlers Beweis kommt ohne den Begriff des charakteristischen Polynoms p_{A}(x) und ohne dessen Determinantendefinition p_{A}(x)=\det (xI-A) aus. (Ich erläutere den Beweis am Ende)

Interessant ist dabei, dass in den Erwiderungen aus den Blogs nur sehr wenig auf Axlers didaktisches Argument eingegangen wird. (Axler bezweifelt ja nicht, dass Determinanten relevant sind, in seinem Buch werden sie im letzten Kapitel durchaus noch behandelt). Interessant ist aber auch, dass der Begriff der Quasideterminanten von den Bloggern (und mithin vielleicht von der ganzen Mathematikerschar?) praktisch überhaupt nicht diskutiert wird, obwohl es doch diesem Teil der mathematischen Blogosphäre ganz besonders um nichtkommutative Strukturen geht. Gerade diejenigen, die mit dem Thema Kategorifizierung beschäftigt sind, müssten an dem Begriff der Quasideterminanten besonderes Interesse haben. (Tatsächlich gibt es einen Mathematiker aus dieser Ecke, nämlich Alexander Polishchuk, der in einem Artikel die Formel zur Berechnung einer 2×2-Quasideterminante bei der Untersuchung von Vektorbündeln benutzt hat.)

Quasideterminanten, was ist das?

Israel Gelfand und V. Retakh haben den Begriff der Quasideterminante (englisch: quasideterminant) eingeführt. Dieser Artikel ist zur Einführung gut geeignet.

Bei diesen mathematischen Gebilden handelt es sich um eine sehr spezielle Verallgemeinerung der Determinanten auf nichtkommutative Körper (auch auf nichtkommutative Ringe). Diese Verallgemeinerung bietet gegenüber bisher bekannten Verallgemeinerungen (wie etwa die Dieudonne-Determinante) den Vorteil, dass man die Cramersche Regel zur Lösung von Gleichungssystemen nichtkommutativer Variablen benutzen kann. Außerdem gilt ein analoger Satz von Cayley-Hamilton und noch vieles andere mehr. Ganz besonders ist die Anwendung auf Fragen nach nichtkommutativen symmetrischen Funktionen hervorzuheben. Auch im Bereich endlicher Automaten dienen die Quasideterminanten als nützliches Beschreibungsinstrument. (siehe dafür den nicht online verfügbaren Artikel in Advances in Math. 112 (1995), no. 2, Seiten 218–348.)

Axlers Beweis: (Kurze Skizze)
Ausgehend von einem n-dimensionalen Vektorraum V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper betrachten wir einen Endomorphismus A:V –>V. Sei v ein beliebiger Nichtnull-Vektor. Betrachte die Vektoren v, Av, A2v, …, An. Diese Vektoren müssen (weil es sich um n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum handelt) linear abhängig sein. Es folgt also, dass es Koeffizienten ai gibt (die nicht allesamt null sein können), so dass gilt:0=(a_{0}+a_{1}A+a_{2}A^{2}+...+a_{n}A^{n})v. Dieses „Polynom“ können wir faktorisieren:

0=c(A-\lambda_{1}I)...(A-\lambda_{m}I)v

Somit ist einer der $(A-\lambda_{i}I)$ nicht injektiv, also eines der Nullstellen des Polynoms ein Eigenwert. (q.e.d?)

Posted in Geometrie, Lineare Algebra, Mathematische Sätze | Leave a Comment »

Das G8 und der Pythagoras

Posted by Modulix - Juli 26, 2007

Mit dem G8 (so die Kurzbezeichung in Bayern für das achtjährige Gymnasium) ändert sich der Lehrplan zum Teil erheblich. In der 9. Klasse (in die der erste Jahrgang des G8 im September kommen wird) wird sich auch manches ändern, aber der Satz des Pythagoras als eines der zentralen Theoreme wird bleiben.

Gemäß dem bisherigen Lehrplan war es naheliegend, den Satz des Pythagoras mit den Ähnlichkeitssätzen zu beweisen, weil das vorherrschende Thema der Geometrie in der 9. Klasse zentrische Streckung und ähnliche Figuren waren.

Der Beweis war an sich eine leichte Übung, die zahlreichen anderen Beweisvarianten für den Pythagoras wurden freilich in der Praxis entweder gar nicht erwähnt oder nur als Fußnote behandelt. Aber gerade für den Pythagoras gibt es viel einfachere Beweise, die im G8 m.E. endlich zur Geltung kommen könnten. Die zentrische Streckung wird bereits in der 8. Klasse (G8-Lehrplan) behandelt, auf diese kann man also nicht mehr so unmittelbar aufbauen wie früher.

Kürzlich ist mir das neue Schulbuch vom Cornelsen-Verlag („Fokus Mathematik 9“) in die Hand gefallen.

Die Autoren nennen den bekannten Beweis von Garfield. Der Trick besteht bei diesem Beweis darin, die Fläche eines Trapezes auf zwei verschiedene Weisen auszurechnen und die Ergebnisse gleichzusetzen, dann ergibt sich die bekannten Formel:

Garfieldbeweis  A =  Fläche des Trapezes gemäß der Flächenformel undA =  Fläche von zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken und einem dritten rechtwinkligen Dreieck 

Mir ist allerdings nicht klar, warum die Autoren des Buches gerade diesen Beweis ausgesucht haben. Zwar werden noch andere etwas später erwähnt, aber dieser Beweis ist nicht sonderlich ingeniös, er ist außerdem eine Art „halbe Kopie“ des viel bekannteren Ergänzungsbeweises (dessen entscheidende Figur unten abgebildet ist) und er lässt kein Konzept erkennen.

Die einzige Erklärung, die ich habe, ist die, dass man diesen Beweis narrativ verknüpfen kann. Denn man kann erzählen, dass ein amerikansicher Präsident diesen Beweis erstellt, er ist also mit einem Namen verknüpft. Aber ist das an dieser Stelle wirklich beabsichtigt? Immerhin hat der Satz bereits einen Namen.

Hier ist die entscheidende Figur für den klassischen Beweis:

Pythagoras

Man erkennt leicht, dass es sich um ein großes Quadrat mit vier kongruenten rechtwinkilgen Dreiecken und einem Quadrat der Seitenlänge c handelt.

Wegen (a+b)^{2} = 4\cdot \frac{a\cdot b}{2} + c^{2} (Berechnung der Fläche des großen Dreiecks auf zwei verschiedene Weisen: einerseits als Produkt aus den Seitenlängen, andererseits  zusammen gesetzt aus 4 Dreiecken und einem kleinen Quadrat) folgt die bekannte Gleichung.

Ich bin gespannt auf die anderen Lehrbücher.

Posted in G8-Themen, Geometrie, Schulmathematik | 3 Comments »

Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?

Posted by Modulix - Juli 22, 2007

Die so einfache Frage, mag manche, die sich mit Mathematik intensiv beschäftigen, langweilen.

Aber von einer didaktisch-pädagogischen Perspektive ist die Frage nicht ganz so einfach. Die folgende Liste von Antworten erhebt natürlich nicht Anspruch auf Vollständigkeit. Wer noch weitere Antworten kennt, ist herzlich eingeladen, diese Liste zu verlängern. (Die ersten beiden hier gegebenen Argumente findet man auch im Lehrerarchiv. )

1. Das (algebraische) Argument von Freudenthal

Das ist der Klassiker, der sich auch in manchen Didaktikbüchern findet. Wir gehen aus von den beiden Gleichungsumformungen:

 (-3)+3=0 | *4 ergibt: (-3)*4 + 3*4 = 0

sowie

(-4)+4=0 | * (-3) ergibt:  (-4)* (-3) + 4* (-3) = 0

In beiden Gleichungen taucht der Term 4*(-3) auf, die beiden Gleichungen ergeben auch 0, also kann nur gelten:

(-4)*(-3)= 3*4.

Das Argument ist stimmig, verlangt aber die Fähigkeit, lediglich formal mit den Rechengesetzen (Distributivgesetz, Kommutativgesetz) zu operieren. Ob das Schüler kognitiv in der 5. Klasse bewältigen, ist eine andere Frage.

2. Das Argument der konstanten Abstände

Wir gehen etwa aus von der Gleichung

3*(-4) = -12. Jetzt erniedrigen wir den ersten Faktor und erhalten:

2*(-4) =  -8 (Das Ergebnis ist um 4 größer). 

1*(-4) =  -4 (wieder +4)
0*(-4) =   0 (ebenso +4) Jetzt kommt der entscheidende Schritt:
(-1)*(-4) =   4  (das muss ja dann zwangsläufig so sein, oder nicht?)
3. Das Pfeile-Argument an der Zahlengeraden

Wir betrachten die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und ziehen Pfeile von Null (0) bis zu der Zahl. Die Länge des Pfeils ist der Betrag der Zahl. Das Multiplizieren einer positiven Zahl mit einer ganzen Zahl bedeutet Aneinanderhängen der Pfeile zu einem langen Pfeil.

Das heißt: 4*3 bedeutet: —>—>—>—>, also einen Gesamtpfeil der Länge 12 nach rechts: ————>

Rechnet man nun (-1)*3 so dreht man den Pfeil um. Aus —> wird <—.

Der erste Faktor wirkt also wie eine Art „Operator“.

Dann wird klar, dass (-4)*(-3) bedeutet, dass man aus

<— den Pfeil —>—>—> = ————> macht.

Der Vorteil dieser Begründung liegt darin, dass dieses Argument „handlungsorientiert“ vermittelt werden kann. Das Aneinanderhängen von Pfeilen muss wirklich gezeichnet werden. Außerdem zeigt dieser vektorielle Zugang noch einmal die Bedeutung der Vorzeichen auf.

4. Das ästhetische Argument  

Betrachten wir die Multiplikationstabelle

mal +
+ +
?

Es stellt sich nun die Frage, was man für das Fragezeichen hineinschreiben soll. Wenn man ein Minus (-) hinschreibt, so gibt es ein Übergewicht an Minuszeichen. Aus Gründen der Ausgewogenheit ist eher ein Plus (+) zu setzen.

Die naheliegende Kritik ist natürlich, dass das wenig mit Mathematik zu tun hat. Andererseits hat Mathematik schon viel mit Symmetrie und Ästhetik zu tun.

5. Das algebraische Argument

Wollen wir annehmen, dass gilt:

 (-1)\cdot (-1) = -1.

Teilen wir nun durch (-1), so erhalten wir:

 -1 = +1.

In unserem Zahlbereich ist aber -1 \neq 1, daher war unsere Voraussetzung falsch.

[Für die Experten: Im Körper \mathbb{F}_{2} (und seinen Verwandten) führt diese Überlegung übrigens nicht zu einem Widerspruch, denn hier gilt tatsächlich 1+1 =0]

Im Unterricht wäre eine Aufzählung mehrere Argumente (aber zu verschiedenen Zeitpunkten) wahrscheinlich das Empfehlenswerteste.

Posted in Schulmathematik | 18 Comments »

Bekommt eine Frau die nächste Fieldsmedaille?

Posted by Modulix - Juli 19, 2007

Vor einem Dreivierteljahr etwa schien sich eine Sensation zu ereignen:

Penny Smith, Mathematikerin an der Lehigh Universität in Betlehem (Pennsylvania, USA), veröffentlichte eine Arbeit auf dem allseits bekannten Preprint-Server ArXive, in welcher eine Lösung (genauer: der Nachweis der Existenz einer Lösung) der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen behauptet wurde. Das Sensationelle besteht in der Tatsache, dass es sich dabei um eines der Millenniumsprobleme handelt, die das Clay-Institut auserkoren hatte. Wer ein solches Problem löst, hat schon geradezu einen Anspruch auf den Erhalt der Fieldsmedaille, weil diese Probleme unter den herausragenden Personen in der Mathematik als die Schlüsselprobleme gelten, die in der Mathematik einen entscheidenden Durchbruch bringen würden.

Würde also der Beweis von Penny Smith von der Fachwelt anerkannt werden, so könnte sie in 3 Jahren die Fieldsmedaille in Empfang nehmen, was insofern ungewöhnlich ist, als noch nie eine Frau den höchsten Preis der Mathematik erhalten hat.

Kurz nach Veröffentlichung ihrer Arbeit musste Frau Smith viel Kritik ertragen, und sie ließ erkennen, dass sie darunter auch zu leiden hatte. M.E. völlig zu Recht schrieb sie, dass es sich bei dem ArXive um einen Preperint-Server handelt, also etwaige Fehler, die sich in die Arbeit eingschlichen haben sollten doch mit etwas mehr Nachsicht zu behandeln sind. Das Thema der Wirkungsgeschichte ihrer Arbeit kann ausführlich mit zahlreichen Links hier nachgelesen werden.

Die Lösung des Navier-Stokes-Problems wäre nach dem Beweis der Poincare-Vermutung (für Dimension 3) durch Perelmann (der als scheuer Sonderling durch die Medien geistert) die zweite Lösung der insgesamt 7 Millenniumsprobleme.

Zu den 7 Millenniumsproblemen gehören:

  1. Die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung (Gruppenstruktur elliptischer Kurven über \mathbb{Q})
  2. Die Hodge-Vermutung (aus der algebraischen Geometrie)
  3. Die Navier-Stokes-Gleichungen (in Dimension 3)
  4. Die P vs NP-Vermutung (Komplexität)
  5. Die Poincaré-Vermutung (in Dimension 3; für Dimension 4 gab es bereits eine Fieldsmedaille an M. H. Freedman 1986). Diese gilt als gelöst durch Perelmann.
  6. Die Vermutung über die Riemannsche Zetafunktion
  7. Die Frage nach der Existenz von Quanten-Yang-Mills-Theorien in Dimension 4.

Insgesamt bleibt abzuwarten, was aus der Arbeit von Penny Smith wird. Interessant bleibt, dass die Lösungskonstruktionen offenbar Ideen von Oskar Perron zurückgehen.

Posted in fieldsmedaille, Millenniumsprobleme, Partielle Differentialgleichungen | 2 Comments »

Körper mit einem Element (I)

Posted by Modulix - Juli 16, 2007

Von einem „Gespenst“ sprach vor etwa drei Jahren ein Professor für arithmetische/ algebraische Geometrie bei einem Bewerbungs-Vortrag in München, das in der algebraischen Geometrie umgehe – es sei das Gespenst des Körpers mit nur einem Element.
Einige der Zuhörer schienen sehr überrascht, denn ein Körper mit nur einem Element (?) erscheint auf den ersten Blick
a) uninteressant und
b) seine Existenz irgendwie fragwürdig.

Inzwischen allerdings hat am höchst renommierten IHES (der französischen Version des Institute of Advanced Studies) eine Konferenz zu genau diesem Thema stattgefunden, so dass das „Gespenster“-hafte des Körpers mit einem Element gewichen ist und das „Körperchen“ dafür plötzlich die Weihen ernsthaften Interesses weltberühmter Mathematiker erhält.

An dieser Konferenz haben u.a .  Y. Manin und M. Kontsevich (!!) teilgenommen.

Inzwischen ist ein erstes Ergebnis zu dem Thema als preprint erhältlich: Ein neuer Zugang zur Arakelov-Geometrie, in dem der Körper mit einem Element eine Rolle spielt, von N. Dourov (der auch an der Konferenz teilgenommen hat).

Zu diesem Artikel gibt es im n-Category-Cafe eine interessante Diskussion.

Bei dem gesamten Thema handelt es sich um eine durchaus kompliziertes Sache. Allerdings gibt es einen Artikel im American Mathematical Monthly von Henry Cohn in der Juni/ Juli-Ausgabe des Jahres 2004 (genauer: Band 111), in dem das Thema von einer recht verständlichen Seite her aufgezogen wird.

Dazu aber muss man sich mit dem Thema der endlichen einfachen Gruppen befassen: 

Es gibt nach dem Klassifikationssatz folgende endliche einfache Gruppen:

a) die zyklischen (somit abelsche Gruppen) mit Primzahlordnung,

b) die Familie der altenrnierenden Gruppen A5, A6, A7, ….,

c) die Familie der Gruppen vom Lie-Typ

d) die sporadischen Gruppen.

Cohn möchte die alternierenden Gruppen An als Matrixgruppen über einem Körper definieren. Dieser Körper ist der Körper mit einem Element

Das heißt, es soll gelten: An= PSL(n,F1)
Geometrischer gesprochen: Es wird ein n-dimensionaler projektiver Raum über dem Körper mit einem Element definiert. Die Gruppe der Automorphismen dieses projektiven Raums ist dann An

Es bleibt abzuwarten, was es noch für Resultate in dieser Richtung geben wird. Auf jeden Fall wird das Thema längst nicht mehr als „Gespenst“ durch die Hallen der Mathematikinstitute poltern.

Posted in Algebra, Mathematische Merkwürdigkeiten, Zahlentheorie | 3 Comments »

Ein paar Links

Posted by Modulix - Juli 14, 2007

Wer in der englisch-sprachigen „Blogosphäre“ nach Mathematik-Blogs stöbert, wird sehr schnell fündig.

 Ein sehr prominenter Blog ist da das Category-Cafe , ein weiterer sehr interessanter mathematischer Blog ist Michis Blog und in demselben (auch thematischen) Umkreis ist der „kompromisslose“ Mathematiker zu finden: unapologetic mathematician.

Gemeinsam ist ihnen ihr „Kategorifizierungszugang“, kurzum ihr Interesse an homologischer Algebra, am (inzwischen kann man das wohl so nennen) Paradigma der Kategorifizierung,  deren spiritus rector John Baez  ist.

Auch zwei Fields-Medaillen-Gewinner bloggen: Das ist einmal der letztjährige Terence Tao und dann noch der ingeniöse Richard Borcherds. Letzterer hat die berühmte Moonshine-Vermutung bewiesen, die Vertex-Algebren erfunden und der komplexen Analysis einen neuen Schub mit seinen Modulformen gegeben.

Wer nach deutschsprachigen Mathematik-Blogs sucht, findet ein wesentlich kleineres Angebot vor:

Das gibt es das ganz informative mathe2008, dann noch den matheblog und außerdem den Mathebuch-Blog.

Sehr viel mehr habe ich nicht gefunden, vielleicht habe ich auch falsch gesucht.

Im diesem Blog sollen sowohl Fragen des Mathematikunterrichts, als auch „höhere“ Mathematik behandelt werden.

Mal sehen, ob dies funktioniert

Posted in Matheblogs (deutsch), Matheblogs (englisch) | 4 Comments »

Hello world!

Posted by Modulix - Juli 10, 2007

Welcome to WordPress.com. This is your first post. Edit or delete it and start blogging!

Posted in Uncategorized | 2 Comments »