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Archiv für die Kategorie ‘Schulmathematik’

Mathematik in Verbindung mit Unterricht und Schule

Eine kleine Aufgabe

Verfasst von neuer zA am April 17, 2009

Eine kleine Aufgabe aus dem Känguru-Test des letzten Jahres hat mir besonders gefallen:

Gegeben seine drei reelle Zahlen x,y,z, die folgenden zwei Gleichungen genügen sollen:

x+y+z=1 und $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

Frage: Welchen Wert hat dann der Term

$x^2+y^2+z^2$ ?

Die Lösung kann folgendermaßen aussehen:

Es gilt:

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)$

Dies kann man auch so schreiben (Ausklammern von xyz):

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xyz(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$

Es folgt mit den Voraussetzungen also: $x^2+y^2+z^2=1$ .

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Heute war Känguru-Tag

Verfasst von neuer zA am März 19, 2009

An meiner Schule haben über 400 Schülerinnen und Schüler teilgenommen.

Laut der offiziellen Webseite des Känguru-Wettbewerbs haben sich dieses Jahr über 800.000 angemeldet, sensationell!

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Die Sinusfunktion mit Parametern, ein Applet

Verfasst von neuer zA am Februar 6, 2009

Die Sinusfunktion $x\mapsto\sin(x)$ kann auf verschiedene Weise abgewandelt werden.

Allerdings ist es doch relativ mühsam, die allgemeine Sinusfunktion $x\mapsto a\cdot\sin(b(x+c))+d$ für die verschiedenenen Paramater zu zeichnen.

Ich habe daher ein kleines Applet auf mathekram.de unter Klasse 10 mit dem Program „Zirkel und Lineal“ (kurz: Z.U.L. oder englisch „Ruler and Compass, also R.A.C) erstellt, mit dessen Hilfe man für verschiedene Parameter den jeweiligen Graphen darstellen kann.

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Lehrplan 10. Klasse 8-jähriges Gymnasium (I)

Verfasst von neuer zA am Dezember 1, 2008

Obwohl es eine KMK (=Kultusministerkonferenz) gibt (nebenbei bemerkt: mit einer recht schön gemachten Internetseite), auf der (angefangen bei periodischen Sitzungen hin zur Ausarbeitung von Bildungssstandards) vieles besprochen und beschlossen wird, sind die Lehr- oder (wie es etwa in Baden-Württemberg heißt) Bildungspläne doch recht verschieden.

Eines allerdings scheint einheitlich zu sein: Das 10. Schuljahr Gymnasium ist das Schuljahr der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen. Sonst weichen die Lehrpläne voneinander ab, meistens nicht wesentlich, aber immer doch so, dass ein einheitlicher Überblick über alle Lehrpläne aller 16 Bundesländer eigentlich unmöglich ist. Daher werde ich mich in erster Linie an den Lehrplan des bayerischen Gymnasiums halten.

I. Vorbemerkung

II. Inhalte des Lehrplans

III. Kommentare zum Lehrplan

IV. Ein paar leichte Beispielaufgaben

V. Lösungen der Aufgaben

I. Vorbemerkung

Der Mathematik-Lehrplan der 10. Klasse im 8-jährigen Gymnasium (kurz G8) in Bayern unterscheidet sich gar nicht so wesentlich vom Lehrplan für das 9-jährige Gymnasium (G9). Es kommen wieder Kreis und Kugel vor, Sinus und Kosinus sind Themen (allerdings weniger als im G9, weil Sinus und Kosinus schon in der 9. Klasse (G 8 ) eingeführt wurden) und das wichtige Thema Exponential- und Logarithmusfunktion wird intensiv behandelt. Dazu gestoßen ist die Funktionenlehre, auf die dann in der 11. Klasse sehr intensiv aufgebaut werden wird.

II. Inhalte des Lehrplans

Der Lehrplan für die 10. Klasse G8 gliedert sich folgendermaßen:

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Trigonometrie als Rap

Verfasst von neuer zA am August 21, 2008

Aus dem n-Category-Cafe, dem gemeinsamen Blog von John Baez, David Corfield und Urs Schreiber, in dem die Kategoristenzunft sich trifft, findet sich ein netter Link zu einem Rap aus YouTube, den ich jetzt spaßeshalber mal hier hineinstelle, um zu zeigen, dass man selbst der Schulmathematik Ironie abgewinnen kann. Leider habe ich keine interessanten deutschsprachigen Filmchen bei YouTube gefunden. Es gibt zwar einige nette zur inzwischen berüchtigten Oktaederaufgabe beim diesjährigen Abitur in Nordrhein-Westfalen, aber sonst ist die Ausbeute eher dünn.

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Der Wettbewerb wurde verlängert

Verfasst von neuer zA am August 20, 2008

.. und zwar bis Ende August.

Auf der Mathegrips-Seite kann man seine Tipps abgeben.

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Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus

Verfasst von neuer zA am Mai 16, 2008

Zu Kettenbrüchen gibt es eine ausgefeilte Theorie (siehe etwa den Wikipedia-Eintrag), aber die Erstellung eines endlichen Kettenbruches erfordert keine Kenntnisse über Matrizen-Multiplikation oder ähnliches.

Wie erstelle ich etwa aus $\frac{3}{11}$ einen Kettenbruch?

Ich wende den euklidischen Algorithmus darauf an, um den (natürlich bekannten) größten gemeinsamem Teiler zu finden:

$3 = 0\cdot11+3$

$11=3\cdot3+2$

$3=1\cdot2+1$

$2=2\cdot1+0$

Der Kettenbruch lautet damit:

$\frac{3}{11}=\frac{1}{3+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}$

Die Zahlen im Kettenbruch sind also nichts anderes als die Koeffizienten im euklidischen Algorithmus.

Ein weiteres Beispiel, bei dem der Zähler mal größer als der Nenner ist: $\frac{14}{5}$ :

$14=2\cdot5+4$

$5=1\cdot4+1$

$4=4\cdot4+0$

Es folgt: $\frac{14}{5}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}$

Noch ein weiteres Beispiel: $\frac{5}{13}$ :

Das ist der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Fibonaccizahlen. Diese Kettenbruchentwicklung deutet bereits an, dass allgemein gilt: $\frac{fib_{n}}{fib_{n+1}}\rightarrow\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ , dass also die Quotienten aufeinanderfolgender Kettenbrüche gegen den goldenen Schnitt konvergieren. Dabei deutet sich auch an, dass der goldene Schnitt besonders schlecht zu approximieren ist.