Pythagoras mit Vektoren

Der Satz des Pythagoras schreibt sich in der Sprache der linearen Algebra wie folgt:

Seien v und w zwei Vektoren in einem euklidischen Vektorraum V, die orthogonal zueinander sind.

Dann folgt: |v|² + |w|²=|v+w|²

 Der Beweis ist denkbar einfach, weil man in einem euklidischen Vektorraum das Skalarprodukt hat:

Das Skalarprodukt ist nach Voraussetzung (v und w orthogonal zueinander) für die beiden Vektoren gleich 0.

Die Norm der Vektoren ist über das Skalarprodukt definiert durch |v|²=<v,v>.

Daher folgt:

|v+w|²=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=

|v|²+2<v,w>+|w|²=|v|²+0+|w|²= |v|²+|w|²

Möbiustransformationen als Film

Eins sehr schöner Film, wie die sich die Möbiustransformationen auf der komplexen Ebene aus den Bewegungen der Riemannschen Zahlenkugel ergeben, findet sich auf YouTube:

Lineare Algebra ohne Determinanten?

Die Provokation:

Sheldon Axler, ein Professor für Mathematik an der Universität in San Francisco, hat sich vor mehr als 10 Jahren einmal erlaubt, den Mund recht voll zu nehmen. In einem bewusst polemisch gehaltenen Artikel mit dem Titel „Nieder mit Determinanten“ (Down with determinants) sowie in einem Lehrbuch mit dem Titel „Lineare Algebra, richtig gemacht“ (linear algebra done right) erklärt er, dass die Eigenwerttheorie von Endomorphismen endlich dimensionaler Vektorräume den Studenten nur so geeignet beigebracht werden kann, indem man möglichst weiträumig das Thema Determinanten ausspart.

Wirkungsgeschichte:

Man kann sich natürlich streiten, ob nun wirklich relevant ist, was ein Professor einer nicht sonderlich bekannten amerikanischen Westküsten-Uni vor mehr als einer Dekade von sich gegeben hat. Aber interessanter wird es, wenn man sieht, was in den einschlägigen Blogs dazu gesagt wird, oder um genauer zu sein, was erst vor ein paar Monaten dazu gesagt wurde.

Im n-Category-Cafe wird dazu eine längere Diskussion geführt. Kurz darauf wird im noncommutativegeometry-Blog (also dem Blog der Freunde von Alain Connes) der Schlachtruf „Lange leben die Determinanten“ ausgerufen. Und es werden zahlreiche Beispiele genannt, die den Sinn von Determinanten unterstreichen sollen.

Die Argumente von Axler sind in erster Linie didaktischer (besser: hochschuldidaktischer) Natur. Es geht ihm darum, dass seine Studenten möglichst schnell wesentliche Aussagen und die Beweise der Eigenwerttheorie kennen lernen. Der Begriff und die benötigten Eigenschaften der Determinante scheinen ihm dabei umständlich und zeitvergeudend.

Axler geht es insbesondere um die Aussage: Jeder Endomorphismus (wobei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, also typischerweise ) hat einen Eigenwert.

Axlers Beweis kommt ohne den Begriff des charakteristischen Polynoms und ohne dessen Determinantendefinition aus. (Ich erläutere den Beweis am Ende)

Interessant ist dabei, dass in den Erwiderungen aus den Blogs nur sehr wenig auf Axlers didaktisches Argument eingegangen wird. (Axler bezweifelt ja nicht, dass Determinanten relevant sind, in seinem Buch werden sie im letzten Kapitel durchaus noch behandelt). Interessant ist aber auch, dass der Begriff der Quasideterminanten von den Bloggern (und mithin vielleicht von der ganzen Mathematikerschar?) praktisch überhaupt nicht diskutiert wird, obwohl es doch diesem Teil der mathematischen Blogosphäre ganz besonders um nichtkommutative Strukturen geht. Gerade diejenigen, die mit dem Thema Kategorifizierung beschäftigt sind, müssten an dem Begriff der Quasideterminanten besonderes Interesse haben. (Tatsächlich gibt es einen Mathematiker aus dieser Ecke, nämlich Alexander Polishchuk, der in einem Artikel die Formel zur Berechnung einer 2×2-Quasideterminante bei der Untersuchung von Vektorbündeln benutzt hat.)

Quasideterminanten, was ist das?

Israel Gelfand und V. Retakh haben den Begriff der Quasideterminante (englisch: quasideterminant) eingeführt. Dieser Artikel ist zur Einführung gut geeignet.

Bei diesen mathematischen Gebilden handelt es sich um eine sehr spezielle Verallgemeinerung der Determinanten auf nichtkommutative Körper (auch auf nichtkommutative Ringe). Diese Verallgemeinerung bietet gegenüber bisher bekannten Verallgemeinerungen (wie etwa die Dieudonne-Determinante) den Vorteil, dass man die Cramersche Regel zur Lösung von Gleichungssystemen nichtkommutativer Variablen benutzen kann. Außerdem gilt ein analoger Satz von Cayley-Hamilton und noch vieles andere mehr. Ganz besonders ist die Anwendung auf Fragen nach nichtkommutativen symmetrischen Funktionen hervorzuheben. Auch im Bereich endlicher Automaten dienen die Quasideterminanten als nützliches Beschreibungsinstrument. (siehe dafür den nicht online verfügbaren Artikel in Advances in Math. 112 (1995), no. 2, Seiten 218–348.)

Axlers Beweis: (Kurze Skizze)
Ausgehend von einem n-dimensionalen Vektorraum V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper betrachten wir einen Endomorphismus A:V –>V. Sei v ein beliebiger Nichtnull-Vektor. Betrachte die Vektoren v, Av, A²v, …, Aⁿ. Diese Vektoren müssen (weil es sich um n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum handelt) linear abhängig sein. Es folgt also, dass es Koeffizienten a_i gibt (die nicht allesamt null sein können), so dass gilt:. Dieses „Polynom“ können wir faktorisieren:

Somit ist einer der $(A-\lambda_{i}I)$ nicht injektiv, also eines der Nullstellen des Polynoms ein Eigenwert. (q.e.d?)

Das G8 und der Pythagoras

Mit dem G8 (so die Kurzbezeichung in Bayern für das achtjährige Gymnasium) ändert sich der Lehrplan zum Teil erheblich. In der 9. Klasse (in die der erste Jahrgang des G8 im September kommen wird) wird sich auch manches ändern, aber der Satz des Pythagoras als eines der zentralen Theoreme wird bleiben.

Gemäß dem bisherigen Lehrplan war es naheliegend, den Satz des Pythagoras mit den Ähnlichkeitssätzen zu beweisen, weil das vorherrschende Thema der Geometrie in der 9. Klasse zentrische Streckung und ähnliche Figuren waren.

Der Beweis war an sich eine leichte Übung, die zahlreichen anderen Beweisvarianten für den Pythagoras wurden freilich in der Praxis entweder gar nicht erwähnt oder nur als Fußnote behandelt. Aber gerade für den Pythagoras gibt es viel einfachere Beweise, die im G8 m.E. endlich zur Geltung kommen könnten. Die zentrische Streckung wird bereits in der 8. Klasse (G8-Lehrplan) behandelt, auf diese kann man also nicht mehr so unmittelbar aufbauen wie früher.

Kürzlich ist mir das neue Schulbuch vom Cornelsen-Verlag („Fokus Mathematik 9″) in die Hand gefallen.

Die Autoren nennen den bekannten Beweis von Garfield. Der Trick besteht bei diesem Beweis darin, die Fläche eines Trapezes auf zwei verschiedene Weisen auszurechnen und die Ergebnisse gleichzusetzen, dann ergibt sich die bekannten Formel:

A =  Fläche des Trapezes gemäß der Flächenformel undA =  Fläche von zwei gleich großen rechtwinkligen Dreiecken und einem dritten rechtwinkligen Dreieck

Mir ist allerdings nicht klar, warum die Autoren des Buches gerade diesen Beweis ausgesucht haben. Zwar werden noch andere etwas später erwähnt, aber dieser Beweis ist nicht sonderlich ingeniös, er ist außerdem eine Art „halbe Kopie“ des viel bekannteren Ergänzungsbeweises (dessen entscheidende Figur unten abgebildet ist) und er lässt kein Konzept erkennen.

Die einzige Erklärung, die ich habe, ist die, dass man diesen Beweis narrativ verknüpfen kann. Denn man kann erzählen, dass ein amerikansicher Präsident diesen Beweis erstellt, er ist also mit einem Namen verknüpft. Aber ist das an dieser Stelle wirklich beabsichtigt? Immerhin hat der Satz bereits einen Namen.

Hier ist die entscheidende Figur für den klassischen Beweis:

Man erkennt leicht, dass es sich um ein großes Quadrat mit vier kongruenten rechtwinkilgen Dreiecken und einem Quadrat der Seitenlänge c handelt.

Wegen (Berechnung der Fläche des großen Dreiecks auf zwei verschiedene Weisen: einerseits als Produkt aus den Seitenlängen, andererseits  zusammen gesetzt aus 4 Dreiecken und einem kleinen Quadrat) folgt die bekannte Gleichung.

Ich bin gespannt auf die anderen Lehrbücher.