Mathekram

Mathematik rein und angewandt, erforscht und unterrichtet (ein Matheblog)

Archiv für die Kategorie ‘Analysis’

Möbiustransformationen als Film

Verfasst von neuer zA am Dezember 27, 2007

Eins sehr schöner Film, wie die sich die Möbiustransformationen auf der komplexen Ebene aus den Bewegungen der Riemannschen Zahlenkugel ergeben, findet sich auf YouTube:

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Eine Gegenbeispiel in der Analysis

Verfasst von neuer zA am Oktober 4, 2007

Es gibt reelle Funktionen, die nicht einmal stetig sind, aber deren Richtungsableitungen alle trotzdem existieren:

f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}} für (x,y)\neq(0,0) und f(0,0)=0.

Dass diese Funktion im Punkt (0,0) nicht einmal stetig ist, kann man wie folgt zeigen:

Betrachten wir die Kurve y=x^{2}. Es gilt: f(x,x^{2})=\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}. Offensichtlich ist die Funktion demnach nicht stetig auf dieser Kurve, weil sie auf dieser Kurve den Wert 1/2, aber im Punkt (o,o) den Wert 0 hat.

Jetzt zu den Richtungsableitungen: Betrachten wir eine beliebige Richtung um den Punkt (0,0), also die Richtung (cos\alpha,sin\alpha) und stellen den Differenzenquotienten für diese Richtung auf:

\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{f(t\cos\alpha,t\sin\alpha)}{t}=\frac{1}{t}\cdot\frac{t^{2}\cos^{2}\alpha\cdot t\sin\alpha}{t^{4}cos^{4}\alpha+t^{2}\sin^{2}\alpha}

Wir kürzen: \frac{1}{t}\cdot\frac{\cos^{2}\alpha\cdot tsin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{t^{2}cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha}

Hier ist eine Grenzwertbildung ohne Probleme möglich:

\lim\frac{f(tcos\alpha,t\sin\alpha)-f(0,0)}{t}=\frac{\cos^{2}\alpha\cdot \sin\alpha}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha}.

An dem letzten Wert sieht man, dass noch eine Betrachtung notwendig ist, wenn $\sin\alpha=0$ (also auf den Koordinatenachsen selbst). Aber hier zeigt sich sofort:

\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\frac{0}{t^{5}}=0.

(Das Beispiel habe ich aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann).

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Warum Nullkommaneunperiode gleich Eins ist

Verfasst von neuer zA am August 22, 2007

Immer wieder, insbesondere in der 6. Klasse, wird den Schülern beigebracht, dass gilt: 0,9999… = 1.

Hochtrabender kann man davon sprechen, dass die Dezimaldarstellung, so wie jede andere b-adische Darstellung, nicht eindeutig ist. Denn es gilt auch: 0,45999999…=0,46.

Ich lasse hier die übliche Schreibweise für Perioden, also 0,\overline{2}=0,2222.... weg, um nicht alle Rechnungen im Latex-Modus scheiben zu müssen.

Hier werden drei Argumente bzw. Beweise für diese Aussage vorgestellt:

Das klassische Argument:

So wird es gerne den 6.Klässlern erklärt (ob sie das verstehen, sei dahin gestellt):

(Gleichung 1) s=0,99999….

(Gleichung 2): 10*s=9,9999…

Jetzt rechnen wir 10*s – s = 9,99999… -0,9999….

Wir erhalten 9*s = 9, also ist s = 1

Das Analogie-Argument:

Man kann leicht ausrechnen: \frac{1}{9}=0,1111...

Außerdem folgt: \frac{2}{9}=0,222....

Damit kann man sagen: \frac{9}{9}=0,999..., aber \frac{9}{9}=1.

Das Argument mit der geometrischen Reihe:

Die Formel für die geometrische Reihe lautet:

1+x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Damit folgt:

x^{1}+x^{2}+x^{3}+.... = \frac{1}{1-x}-1 = \frac{x}{1-x}

Nun gilt im Dezimalsystem

0,9999...=\frac{9}{10}+\frac{9}{10^{2}}+\frac{9}{10^{3}}+...=9\cdot(\frac{1}{10}+(\frac{1}{10})^{2}+(\frac{1}{10})^{3}+...)

Mit der geometrischen Reihe folgt dann:

0,9999... = 9\cdot\frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}

Eine kleine Rechnung der letzten Zeile liefert:

9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{1-(\frac{1}{10})}=9\cdot \frac{(\frac{1}{10})}{\frac{9}{10}}= 1.

Übrigens: Auch für das Binärsystem gilt die Aussage: (0,11111…)2 = 1.

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Beweise zur Geometrischen Summenformel

Verfasst von neuer zA am August 19, 2007

Eine der wichtigsten Reihen in der Analysis ist die geometrische Reihe:

\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}, wobei |x|<1.

Die Formel ist eine direkte Konsequenz aus der geometrischen Summenformel:

1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Dabei kann x eine beliebige Zahl (nur ungleich 1) sein (ja man kann dieser Formel sogar einen geeigneten Sinn geben, wenn x ein Operator in einem bestimmten Vektorraum ist, wobei x dann nicht die Identität sein darf). Jetzt ein paar Beweise:

Beweis 1 (Multiplikation):

Es werden die Terme 1+x+x^{2}+...+x^{n} und (1-x) multipliziert:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1+x+...+x^{n}-(x+x^{2}+...+x^{n+1})=1-x^{n+1}.

Wir haben also die Gleichung:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1-x^{n+1}. Dividieren von 1-x auf beiden Seiten liefert die Formel.

Beweis 2 (Induktion 1):

Für n=0 ist die Aussage trivial, dann steht nämlich da: 1=\frac{1-x^{1}}{1-x}=1.

Die Formel sei für n bereits gezeigt. Dann folgt:

(1+x+x^{2}+...+x^{n})+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}.

Zwei Potenzen auf dem Bruchstrich heben sich weg, wir erhalten also die Gleichung:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}.

Beweis 3 (Induktion 2):

Der Induktionsanfang ist wieder klar. Die Formel sei für n gezeigt. Dann folgt:

1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=1+x\cdot(1+x+x^{2}+...+x^{n})=1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}.

Jetzt gilt es nur noch, den rechten Term auf einen Nenner zu bringen:

1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-x+x-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}.

Beweis 4 (Rekursion):

Dieser Beweis ist eine Art von Kombination aus den Beweisen 2 und 3: Wir bezeichnen mit Sn die Summe von 1 bis xn:

S_{n}=1+x+x^{2}+...+x^{n}

Wir wissen, dass für die (n+1)ste Summe Sn+1 zwei Identitäten gelten:

S_{n+1}=S_{n}+x^{n+1} und S_{n+1}=1+xS_{n}.

Es folgt: S_{n}+x^{n+1}=1+xS_{n}. Jetzt wird nach S_{n} aufgelöst:

S_{n}-xS_{n}=(1-x)S_{n}=1-x^{n+1}.

Beweis 5 (Polynomdivision):

\begin{matrix}(x^{n+1}-1)&:(x-1)&=&x^{n}+x^{n-1}+...+1\\ -\underline{(x^{n+1}-x^{n})}\\ x^{n}-1\\ -\underline{(x^{n}-x^{n-1})}\\ .... \\ \end{matrix}

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Bekommt eine Frau die nächste Fieldsmedaille?

Verfasst von neuer zA am Juli 19, 2007

Vor einem Dreivierteljahr etwa schien sich eine Sensation zu ereignen:

Penny Smith, Mathematikerin an der Lehigh Universität in Betlehem (Pennsylvania, USA), veröffentlichte eine Arbeit auf dem allseits bekannten Preprint-Server ArXive, in welcher eine Lösung (genauer: der Nachweis der Existenz einer Lösung) der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen behauptet wurde. Das Sensationelle besteht in der Tatsache, dass es sich dabei um eines der Millenniumsprobleme handelt, die das Clay-Institut auserkoren hatte. Wer ein solches Problem löst, hat schon geradezu einen Anspruch auf den Erhalt der Fieldsmedaille, weil diese Probleme unter den herausragenden Personen in der Mathematik als die Schlüsselprobleme gelten, die in der Mathematik einen entscheidenden Durchbruch bringen würden.

Würde also der Beweis von Penny Smith von der Fachwelt anerkannt werden, so könnte sie in 3 Jahren die Fieldsmedaille in Empfang nehmen, was insofern ungewöhnlich ist, als noch nie eine Frau den höchsten Preis der Mathematik erhalten hat.

Kurz nach Veröffentlichung ihrer Arbeit musste Frau Smith viel Kritik ertragen, und sie ließ erkennen, dass sie darunter auch zu leiden hatte. M.E. völlig zu Recht schrieb sie, dass es sich bei dem ArXive um einen Preperint-Server handelt, also etwaige Fehler, die sich in die Arbeit eingschlichen haben sollten doch mit etwas mehr Nachsicht zu behandeln sind. Das Thema der Wirkungsgeschichte ihrer Arbeit kann ausführlich mit zahlreichen Links hier nachgelesen werden.

Die Lösung des Navier-Stokes-Problems wäre nach dem Beweis der Poincare-Vermutung (für Dimension 3) durch Perelmann (der als scheuer Sonderling durch die Medien geistert) die zweite Lösung der insgesamt 7 Millenniumsprobleme.

Zu den 7 Millenniumsproblemen gehören:

  1. Die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung (Gruppenstruktur elliptischer Kurven über \mathbb{Q})
  2. Die Hodge-Vermutung (aus der algebraischen Geometrie)
  3. Die Navier-Stokes-Gleichungen (in Dimension 3)
  4. Die P vs NP-Vermutung (Komplexität)
  5. Die Poincaré-Vermutung (in Dimension 3; für Dimension 4 gab es bereits eine Fieldsmedaille an M. H. Freedman 1986). Diese gilt als gelöst durch Perelmann.
  6. Die Vermutung über die Riemannsche Zetafunktion
  7. Die Frage nach der Existenz von Quanten-Yang-Mills-Theorien in Dimension 4.

Insgesamt bleibt abzuwarten, was aus der Arbeit von Penny Smith wird. Interessant bleibt, dass die Lösungskonstruktionen offenbar Ideen von Oskar Perron zurückgehen.

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