Das erste Mathe-Abitur des G8 in Bayern (I)

Am 20. Mai, also ziemlich genau vor einer Woche wurde das erste Mathematik-Abitur des achtjährigen Gymnasiums geschrieben.

Interessant an diesem Mathe-Abitur war, dass das Schlagwort von der neuen “Aufgabenkultur” inzwischen Gestalt in Form bestimmter Aufgaben angenommen hat , die sich deutlich vom bisherigen G9-Abi unterscheiden.

Das schlägt sich insbesondere im Analysis-Teil (der hinsichtlich Punkte-Gewichtung die Hälfte der Note ausmacht) und im Geometrie-Teil nieder. Der Stochastik-Teil ist eher durch Standard-Aufgaben geprägt.

Insbesondere der Analysis-Teil ist besonders interessant:

Er beginnt mit ein paar Einstiegsaufgaben, die im Grunde nicht sehr schwer sind, aber doch grundlegendes Verständnis abfragen. Typisch ist dabei folgende Aufgabe: (Aufgabe 4  aus Aufgabengruppe II, Analysis Teil I)

“Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y =2 als Asymptote besitzt und in x =-1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.”

Gerade diese Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler, etwas selbst zu erstellen, freilich nach bestimmten Vorgaben, aber sie sollen unter Verwendung eines gewissen Repertoires an Kenntnissen eine Funktion basteln, die den Forderungen genügt. Es geht hier also gerade nicht darum, ein Kalkül  blind abzuspulen, sondern ein bisschen nachzudenken. Außerdem gibt es im Prinzip unendlich viele Lösungen.

Eine Lösung wäre übrigens: .

Im Bereich Geometrie konnte man (wie auch in den anderen beiden Bereichen Analysis und Stochastik)  aus zwei Aufganegruppen wählen, die nicht ganz einfach waren, aber schon den Weg zu anderen Aufgabenformen weisen und deshalb von einigen Schülern als recht schwer empfunden werden. Das liegt daran, dass nicht so sehr das mühsame Gleichungslösen im Vordergrund steht, sondern eine auf elementargeometrische Einsichten abzielende Aufgabenstellung  favorisiert wird.

Ein Beispiel (Aufgabe b aus Geometrie Aufgabengruppe II):

Ein Dreieeck ABC sei rechtwinklig mit Hyptenuse [AB].

“Alle Punkte C* im Raum, die zusammen mit A und B ein zum Dreieck ABC kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise. Beschreiben Sie (z.B.durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke [AB] und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise”

Hier muss also etwas beschrieben werden. Hier geht es um “Kongruenz“, ein Begriff der zwar grundlegend ist, den viele Schüler aber zuletzt in der 7. Klasse gehört haben könnten. Dass es um die Rotation der beiden Dreiecke geht, die im Thaleskreis über der Hypotenuse [AB] liegen und die Maße des Ausgangsdreiecks ABC haben, zielt auf die Elementargeometrie ab.

Die Bsteimmung der Höhe kann über ähnliche Dreiecke oder über die Flächenformel: A=1/2 ab=1/2ch bestimmt werden.

Benoit Mandelbrot gestorben

Wie man den Medien entnehmen kann, ist Benoit Mandelbrot gestorben.

Mandelbrot ist in erster Linie durch die berühmte Mandelbrotmenge für die Funktion f(z)=z²+c bekannt. ( Bei ihr handelt es sich um den Teil des Parameterraums, für den die zugehörigen Juliamengen zusammenhängend sind.)

Aber Mandelbrot wird langfristig vielleicht auch als derjenige bekannt bleiben, der eine komplexere Herangehensweise bei der Analyse von Wertpapierkursen empfohlen hat.

Lösung der Integrationsaufgabe

Die Lösung lautet:

Um das zu zeigen,  beginnnen wir damit, den Integranden ein bisschen umzuformen:

So erhalten wir:

Das  zweite Integral sieht nun fast genauso aus, wie das urprüngliche Integral.

Verwenden wir nun die Substititionsregel, um sie mit dem ursprünglichen Integral in Verbindung zu bringen:

.

 (dabei wurde y:=a-x substituiert und mit dy=-dx die Tatsache verwendet.)

Es folgt:

.

Bezeichnen wir das Integral mit I, so steht also da:

I=a-I

Aufgelöst nach I erhalten wir:

I=a/2.

Eine kleine Integrationsknobelaufgabe

Folgende Aufgabe kann man mit der Substitutionsregel sehr schön lösen, obwohl beim ersten Durchlesen eine allgemeine Lösung eher unwahrscheinlich erscheint:

Gegeben ist eine auf dem Intervall [0;a] stetige Funktion f. Außerdem gelte, dass f(x)+f(a-x) auf [0,a] nirgends verschwindet. (Ein Beispiel wäre schon eine lineare Funktion f(x)=2x+1 auf  [0,a] (a>0))

Bestimme den Wert des Integrals:

.

Die Lösung kommt im nächsten Posting.

Möbiustransformationen als Film

Eins sehr schöner Film, wie die sich die Möbiustransformationen auf der komplexen Ebene aus den Bewegungen der Riemannschen Zahlenkugel ergeben, findet sich auf YouTube:

Eine Gegenbeispiel in der Analysis

Es gibt reelle Funktionen, die nicht einmal stetig sind, aber deren Richtungsableitungen alle trotzdem existieren:

für und .

Dass diese Funktion im Punkt nicht einmal stetig ist, kann man wie folgt zeigen:

Betrachten wir die Kurve . Es gilt: . Offensichtlich ist die Funktion demnach nicht stetig auf dieser Kurve, weil sie auf dieser Kurve den Wert 1/2, aber im Punkt (o,o) den Wert 0 hat.

Jetzt zu den Richtungsableitungen: Betrachten wir eine beliebige Richtung um den Punkt (0,0), also die Richtung und stellen den Differenzenquotienten für diese Richtung auf:

Wir kürzen:

Hier ist eine Grenzwertbildung ohne Probleme möglich:

.

An dem letzten Wert sieht man, dass noch eine Betrachtung notwendig ist, wenn $\sin\alpha=0$ (also auf den Koordinatenachsen selbst). Aber hier zeigt sich sofort:

.

(Das Beispiel habe ich aus dem Repetitorium der Analysis von Timmann).

Warum Nullkommaneunperiode gleich Eins ist

Immer wieder, insbesondere in der 6. Klasse, wird den Schülern beigebracht, dass gilt: 0,9999… = 1.

Hochtrabender kann man davon sprechen, dass die Dezimaldarstellung, so wie jede andere b-adische Darstellung, nicht eindeutig ist. Denn es gilt auch: 0,45999999…=0,46.

Ich lasse hier die übliche Schreibweise für Perioden, also weg, um nicht alle Rechnungen im Latex-Modus scheiben zu müssen.

Hier werden drei Argumente bzw. Beweise für diese Aussage vorgestellt:

Das klassische Argument:

So wird es gerne den 6.Klässlern erklärt (ob sie das verstehen, sei dahin gestellt):

(Gleichung 1) s=0,99999….

(Gleichung 2): 10*s=9,9999…

Jetzt rechnen wir 10*s – s = 9,99999… -0,9999….

Wir erhalten 9*s = 9, also ist s = 1

Das Analogie-Argument:

Man kann leicht ausrechnen:

Außerdem folgt:

Damit kann man sagen: , aber .

Das Argument mit der geometrischen Reihe:

Die Formel für die geometrische Reihe lautet:

, wobei .

Damit folgt:

Nun gilt im Dezimalsystem

Mit der geometrischen Reihe folgt dann:

Eine kleine Rechnung der letzten Zeile liefert:

.

Übrigens: Auch für das Binärsystem gilt die Aussage: (0,11111…)₂ = 1.

Beweise zur Geometrischen Summenformel

Eine der wichtigsten Reihen in der Analysis ist die geometrische Reihe:

, wobei .

Die Formel ist eine direkte Konsequenz aus der geometrischen Summenformel:

.

Dabei kann x eine beliebige Zahl (nur ungleich 1) sein (ja man kann dieser Formel sogar einen geeigneten Sinn geben, wenn x ein Operator in einem bestimmten Vektorraum ist, wobei x dann nicht die Identität sein darf). Jetzt ein paar Beweise:

Beweis 1 (Multiplikation):

Es werden die Terme und multipliziert:

.

Wir haben also die Gleichung:

. Dividieren von 1-x auf beiden Seiten liefert die Formel.

Beweis 2 (Induktion 1):

Für n=0 ist die Aussage trivial, dann steht nämlich da: .

Die Formel sei für n bereits gezeigt. Dann folgt:

.

Zwei Potenzen auf dem Bruchstrich heben sich weg, wir erhalten also die Gleichung:

.

Beweis 3 (Induktion 2):

Der Induktionsanfang ist wieder klar. Die Formel sei für n gezeigt. Dann folgt:

.

Jetzt gilt es nur noch, den rechten Term auf einen Nenner zu bringen:

.

Beweis 4 (Rekursion):

Dieser Beweis ist eine Art von Kombination aus den Beweisen 2 und 3: Wir bezeichnen mit S_n die Summe von 1 bis xⁿ:

Wir wissen, dass für die (n+1)ste Summe S_n+1 zwei Identitäten gelten:

und .

Es folgt: . Jetzt wird nach aufgelöst:

.

Beweis 5 (Polynomdivision):