Pythagoras mit Vektoren

Der Satz des Pythagoras schreibt sich in der Sprache der linearen Algebra wie folgt:

Seien v und w zwei Vektoren in einem euklidischen Vektorraum V, die orthogonal zueinander sind.

Dann folgt: |v|² + |w|²=|v+w|²

 Der Beweis ist denkbar einfach, weil man in einem euklidischen Vektorraum das Skalarprodukt hat:

Das Skalarprodukt ist nach Voraussetzung (v und w orthogonal zueinander) für die beiden Vektoren gleich 0.

Die Norm der Vektoren ist über das Skalarprodukt definiert durch |v|²=<v,v>.

Daher folgt:

|v+w|²=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=

|v|²+2<v,w>+|w|²=|v|²+0+|w|²= |v|²+|w|²