Die Mitternachtsformel: Lehrplan 9. Klasse (II)

Mitternachtsfomel – das klingt nach Romantik, nach Nächte unterm Sternenzelt …. aber eigentlich heißt diese Formel nur so, weil Lehrer erwarten, dass Schüler diese Formel zu jeder Tages- und Nachtzeit beherrschen sollten. So nüchtern ist die Wahrheit, so profan und wenig reizvoll, dass man sich diese Formel also einfach schnell einbimsen und anschließend hoffentlich dann auch anwenden könnte. Aber tatsächlich hat diese Formel ihren Reiz in vielerlei Hinsicht. Sie ist so etwas wie eine erste Anmutung über das intensive Wechselspiel zwischen Algebra und Geometrie.

Es geht um folgendes: Gesucht sind die Lösungen der quadratischen Gleichung

in der Unbekannten x. Es gibt zu dieser Gleichung eine, zwei oder keine Lösung (in den reellen Zahlen). Die Formel für die Lösungen lautet:

.

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante. Von ihrem Vorzeichen bzw. Wert hängt es ab, wie viele Lösungen existieren. Genauer:

Gilt , dann folgt: Es gibt zwei Lösungen ,

gilt , dann folgt: Es gibt eine Lösung und die lautet: ,

gilt , dann steht unter der Wurzel eine negative Zahl. In den reellen Zahlen gibt es keine Lösungen für Gleichungen der Form , also gibt es keine Lösung.

Geometrisch bedeutet das, dass der Graph der Funktion in Abhängigkeit der Diskriminante zwei, eine oder keine Nullstellen hat.

Beispiel:

:

Die Lösungen lauten: .

Also erhalten wir:

und .

Prominentes Beispiel, der Goldene Schnitt:

Die Nullstellen des Polynoms ergeben sich gemäß der “Mitternachtsformel”: .

Der Goldene Schnitt ist ein bestimmtes Teilverhältnis. Ein Strecke wird im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt, wenn gilt: Die kleine Strecke verhält sich zur großen wie die große zur gesamten Strecke.

, es folgt: . Das ist das Polynom von oben.

Eine der beiden Lösungen ist positiv, die andere negativ. Der goldene Schnitt ist die positive Lösung.

Herleitung der Mitternachtformel:

Die Herleitung erfolgt mit quadratischem Ergänzen, d.h. wir basteln zuerst eine binomische Formel und müssen dies wieder zurecht biegen, so dass die Gleichung, von der wir ausgegangen sind, wieder stimmt:

Wir starten mit einer quadratischen Gleichung (wobei die Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sein sollen)

Ausklammern von a:

In der Klammer steht ein Teil einer binomischen Formel. Das wird jetzt noch einmal hervorgehoben, indem mit 2 multipliziert und gleich wieder dividiert wird:

Wer es noch nicht erkennt, möge folgende Darstellung betrachten:

Wir haben den Term dazu addiert und gleich wieder abgezogen. Jetzt wird aber klar erkennbar, dass die ersten drei Terme in der Klammer sich gemäß der binomischen Formel zusammenfassen lassen:

Jetzt lösen wir die äußere Klammer auf:

Wir führen jetzt die Quadrierung von durch:

Kürzen:

Wir wollen jetzt nach x auflösen. Wir bringen den Term, in dem die Unbekannte x nicht vorkommt, auf die andere Seite:

Jetzt teilen wir durch a:

Die rechte Seite auf den gemeinsamen Nenner:

Wir ziehen die Wurzel. Bekanntlich gibt es dann zwei Lösungen, die wir mit dem plus/minus-Zeichen angeben.

Den Term ohne x auf der linken Seite nach rechts gebracht.

Im Nenner unter der Wurzel steht ein qudratischer Ausdruck, also können wir die Wurzel ziehen:

Jetzt noch auf einen Bruchstrich gebracht ergibt das die Mitternachtsformel:

.