Beweise zur Geometrischen Summenformel

August 2007
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Verfasst von neuer zA am August 19, 2007

Eine der wichtigsten Reihen in der Analysis ist die geometrische Reihe:

$\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}$ , wobei $|x|<1$ .

Die Formel ist eine direkte Konsequenz aus der geometrischen Summenformel:

$1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ .

Dabei kann x eine beliebige Zahl (nur ungleich 1) sein (ja man kann dieser Formel sogar einen geeigneten Sinn geben, wenn x ein Operator in einem bestimmten Vektorraum ist, wobei x dann nicht die Identität sein darf). Jetzt ein paar Beweise:

Beweis 1 (Multiplikation):

Es werden die Terme $1+x+x^{2}+...+x^{n}$ und $(1-x)$ multipliziert:

$(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1+x+...+x^{n}-(x+x^{2}+...+x^{n+1})=1-x^{n+1}$ .

Wir haben also die Gleichung:

$(1+x+x^{2}+...+x^{n})(1-x)=1-x^{n+1}$ . Dividieren von 1-x auf beiden Seiten liefert die Formel.

Beweis 2 (Induktion 1):

Für n=0 ist die Aussage trivial, dann steht nämlich da: $1=\frac{1-x^{1}}{1-x}=1$ .

Die Formel sei für n bereits gezeigt. Dann folgt:

$(1+x+x^{2}+...+x^{n})+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}$ .

Zwei Potenzen auf dem Bruchstrich heben sich weg, wir erhalten also die Gleichung:

$1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}$ .

Beweis 3 (Induktion 2):

Der Induktionsanfang ist wieder klar. Die Formel sei für n gezeigt. Dann folgt:

$1+x+x^{2}+...+x^{n}+x^{n+1}=1+x\cdot(1+x+x^{2}+...+x^{n})=1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ .

Jetzt gilt es nur noch, den rechten Term auf einen Nenner zu bringen:

$1+x\cdot\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-x+x-x^{n+2}}{1-x}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}$ .

Beweis 4 (Rekursion):

Dieser Beweis ist eine Art von Kombination aus den Beweisen 2 und 3: Wir bezeichnen mit S_n die Summe von 1 bis xⁿ:

$S_{n}=1+x+x^{2}+...+x^{n}$

Wir wissen, dass für die (n+1)ste Summe S_n+1 zwei Identitäten gelten:

$S_{n+1}=S_{n}+x^{n+1}$ und $S_{n+1}=1+xS_{n}$ .

Es folgt: $S_{n}+x^{n+1}=1+xS_{n}$ . Jetzt wird nach $S_{n}$ aufgelöst:

$S_{n}-xS_{n}=(1-x)S_{n}=1-x^{n+1}$ .

Beweis 5 (Polynomdivision):

$\begin{matrix}(x^{n+1}-1)&:(x-1)&=&x^{n}+x^{n-1}+...+1\\ -\underline{(x^{n+1}-x^{n})}\\ x^{n}-1\\ -\underline{(x^{n}-x^{n-1})}\\ .... \\ \end{matrix}$

Dieser Eintrag wurde erstellt am August 19, 2007 um 7:52 und ist abgelegt unter Analysis, Beweise. Du kannst alle Antworten auf diesen Eintrag mitverfolgen über den RSS 2.0 Feed. Du kannst einen Kommentar hinterlassen, oder Trackback von deiner eigenen Seite.

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