Warum ist Minus mal Minus gleich Plus?

Die so einfache Frage, mag manche, die sich mit Mathematik intensiv beschäftigen, langweilen.

Aber von einer didaktisch-pädagogischen Perspektive ist die Frage nicht ganz so einfach. Die folgende Liste von Antworten erhebt natürlich nicht Anspruch auf Vollständigkeit. Wer noch weitere Antworten kennt, ist herzlich eingeladen, diese Liste zu verlängern. (Die ersten beiden hier gegebenen Argumente findet man auch im Lehrerarchiv. )

1. Das (algebraische) Argument von Freudenthal

Das ist der Klassiker, der sich auch in manchen Didaktikbüchern findet. Wir gehen aus von den beiden Gleichungsumformungen:

 (-3)+3=0 | *4 ergibt: (-3)*4 + 3*4 = 0

sowie

(-4)+4=0 | * (-3) ergibt:  (-4)* (-3) + 4* (-3) = 0

In beiden Gleichungen taucht der Term 4*(-3) auf, die beiden Gleichungen ergeben auch 0, also kann nur gelten:

(-4)*(-3)= 3*4.

Das Argument ist stimmig, verlangt aber die Fähigkeit, lediglich formal mit den Rechengesetzen (Distributivgesetz, Kommutativgesetz) zu operieren. Ob das Schüler kognitiv in der 5. Klasse bewältigen, ist eine andere Frage.

2. Das Argument der konstanten Abstände

Wir gehen etwa aus von der Gleichung

3*(-4) = -12. Jetzt erniedrigen wir den ersten Faktor und erhalten:

2*(-4) =  -8 (Das Ergebnis ist um 4 größer). 

1*(-4) =  -4 (wieder +4)
0*(-4) =   0 (ebenso +4) Jetzt kommt der entscheidende Schritt:
(-1)*(-4) =   4  (das muss ja dann zwangsläufig so sein, oder nicht?)
3. Das Pfeile-Argument an der Zahlengeraden

Wir betrachten die Zahlen auf dem Zahlenstrahl und ziehen Pfeile von Null (0) bis zu der Zahl. Die Länge des Pfeils ist der Betrag der Zahl. Das Multiplizieren einer positiven Zahl mit einer ganzen Zahl bedeutet Aneinanderhängen der Pfeile zu einem langen Pfeil.

Das heißt: 4*3 bedeutet: —>—>—>—>, also einen Gesamtpfeil der Länge 12 nach rechts: ————>

Rechnet man nun (-1)*3 so dreht man den Pfeil um. Aus —> wird <—.

Der erste Faktor wirkt also wie eine Art “Operator”.

Dann wird klar, dass (-4)*(-3) bedeutet, dass man aus

<— den Pfeil —>—>—> = ————> macht.

Der Vorteil dieser Begründung liegt darin, dass dieses Argument “handlungsorientiert” vermittelt werden kann. Das Aneinanderhängen von Pfeilen muss wirklich gezeichnet werden. Außerdem zeigt dieser vektorielle Zugang noch einmal die Bedeutung der Vorzeichen auf.

4. Das ästhetische Argument  

Betrachten wir die Multiplikationstabelle

mal	+	-
+	+	-
-	-	?

Es stellt sich nun die Frage, was man für das Fragezeichen hineinschreiben soll. Wenn man ein Minus (-) hinschreibt, so gibt es ein Übergewicht an Minuszeichen. Aus Gründen der Ausgewogenheit ist eher ein Plus (+) zu setzen.

Die naheliegende Kritik ist natürlich, dass das wenig mit Mathematik zu tun hat. Andererseits hat Mathematik schon viel mit Symmetrie und Ästhetik zu tun.

5. Das algebraische Argument

Wollen wir annehmen, dass gilt:

 .

Teilen wir nun durch (-1), so erhalten wir:

 .

In unserem Zahlbereich ist aber , daher war unsere Voraussetzung falsch.

[Für die Experten: Im Körper (und seinen Verwandten) führt diese Überlegung übrigens nicht zu einem Widerspruch, denn hier gilt tatsächlich ]

Im Unterricht wäre eine Aufzählung mehrere Argumente (aber zu verschiedenen Zeitpunkten) wahrscheinlich das Empfehlenswerteste.