Nord-Süd-Abiturgefälle?

Heute findet sich  in der Frankfurter Allgemeinen ein Artikel über eine empirische Vergleichsuntersuchung von zwei Abiturjahrgängen in verschiedenen Bundesländern. Es wurden die Länder Hamburg und Baden-Württemberg untersucht. Die Studie zeigt eindeutig, dass die süddeutschen Abiturienten in Mathematik leistungsfähiger sind als ihre Kollegen im hohen Norden.

Eigentlich könnte man vermuten, dass das keine Überraschung ist, nicht etwa weil die Hamburger Schulen schlechter sind, sondern weil der dortige Lehrplan möglicherweise andere Schwerpunkte setzt als der in Baden-Württemberg.

Tatsächlich findet sich auch kein Wort zu der Vergleichbarkeit der Abiturthemen in dem Artikel. Wir erfahren auch nicht, worin die Tests bestanden haben, welche Inhalte ausgewählt wurden und wie eng die gefragten Inhalte sich an das jeweilige Abiturniveau anlehnen.

Nur folgendes Zitat gibt Auskunft über diese Frage:

“Der Wissensstand der Abiturienten in Hamburg lag um rund ein bis zwei Schuljahre hinter dem der Abiturienten in Baden-Württemberg; mehr als die Hälfte von ihnen verfehlte ein Leistungsniveau, das nach Bewertung von Fachexperten von Abiturienten eingefordert werden kann.”

Welche “Fachexperten” das sind, wird nicht weiter ausgeführt.

Die Autoren der Studie sind Ulrich Trautwein, Professor für Empirische Bildungsforschung in Tübingen und Marko Neumann, wissenschaftlicher Mitarbeiter am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung.

Eigentlich kann man über die Ergebnisse erst dann urteilen, wenn man das Design der Tests, den die Schülerinnen und Schüler durchführen mussten, kennt. Dass darauf in dem Artikel nicht eingegangen wurde, ist allerdings auch aufschlussreich.

 

Lösung der Integrationsaufgabe

Die Lösung lautet:

Um das zu zeigen,  beginnnen wir damit, den Integranden ein bisschen umzuformen:

So erhalten wir:

Das  zweite Integral sieht nun fast genauso aus, wie das urprüngliche Integral.

Verwenden wir nun die Substititionsregel, um sie mit dem ursprünglichen Integral in Verbindung zu bringen:

.

 (dabei wurde y:=a-x substituiert und mit dy=-dx die Tatsache verwendet.)

Es folgt:

.

Bezeichnen wir das Integral mit I, so steht also da:

I=a-I

Aufgelöst nach I erhalten wir:

I=a/2.

Eine kleine Integrationsknobelaufgabe

Folgende Aufgabe kann man mit der Substitutionsregel sehr schön lösen, obwohl beim ersten Durchlesen eine allgemeine Lösung eher unwahrscheinlich erscheint:

Gegeben ist eine auf dem Intervall [0;a] stetige Funktion f. Außerdem gelte, dass f(x)+f(a-x) auf [0,a] nirgends verschwindet. (Ein Beispiel wäre schon eine lineare Funktion f(x)=2x+1 auf  [0,a] (a>0))

Bestimme den Wert des Integrals:

.

Die Lösung kommt im nächsten Posting.

Neue Formel zu den Bernoullizahlen??

Die Meldungen über einen jungen Iraker in Schweden, der eine interessante Formel zu den Bernoullizahlen gefunden haben soll, ist deswegen so rätselhaft, weil die Formel bis jetzt noch nicht veröffentlicht wurde.

Vielleicht ist es die altbekannte:

,

wobei ist und die Bernoullipolynome definiert sind durch die Reihe

.

Eine kleine Aufgabe

Eine kleine Aufgabe aus dem Känguru-Test des letzten Jahres hat mir besonders gefallen:

Gegeben seine drei reelle Zahlen x,y,z, die folgenden zwei Gleichungen genügen sollen:

x+y+z=1 und

Frage: Welchen Wert hat dann der Term

?

Die Lösung kann folgendermaßen aussehen:

Es gilt:

Dies kann man auch so schreiben (Ausklammern von xyz):

Es folgt mit den Voraussetzungen also: .

Heute war Känguru-Tag

An meiner Schule haben über 400 Schülerinnen und Schüler teilgenommen.

Laut der offiziellen Webseite des Känguru-Wettbewerbs haben sich dieses Jahr über 800.000 angemeldet, sensationell!

Die Sinusfunktion mit Parametern, ein Applet

Die Sinusfunktion   kann auf verschiedene Weise abgewandelt werden.

Allerdings ist es doch relativ mühsam, die allgemeine Sinusfunktion für die verschiedenenen Paramater zu zeichnen.

Ich habe daher ein kleines Applet auf mathekram.de  unter Klasse 10 mit dem Program  “Zirkel und Lineal” (kurz: Z.U.L. oder englisch “Ruler and Compass, also R.A.C) erstellt, mit dessen Hilfe man für verschiedene Parameter den jeweiligen Graphen darstellen kann.

Lehrplan 10. Klasse 8-jähriges Gymnasium (I)

Obwohl es eine KMK (=Kultusministerkonferenz) gibt (nebenbei bemerkt: mit einer recht schön gemachten Internetseite), auf der (angefangen bei periodischen Sitzungen hin zur Ausarbeitung von Bildungssstandards) vieles besprochen und beschlossen wird, sind die  Lehr- oder (wie es etwa in Baden-Württemberg heißt) Bildungspläne doch recht verschieden.

Eines allerdings scheint einheitlich zu sein: Das 10. Schuljahr Gymnasium ist das Schuljahr der Exponentialfunktion und der trigonometrischen Funktionen. Sonst weichen die Lehrpläne voneinander ab, meistens nicht wesentlich, aber immer doch so, dass ein einheitlicher Überblick über alle Lehrpläne aller 16 Bundesländer eigentlich unmöglich ist. Daher werde ich mich in erster Linie an den Lehrplan des bayerischen Gymnasiums halten.

I. Vorbemerkung

II. Inhalte des Lehrplans

III. Kommentare zum Lehrplan

IV. Ein paar leichte Beispielaufgaben

V. Lösungen der Aufgaben

I. Vorbemerkung

Der Mathematik-Lehrplan der 10. Klasse im 8-jährigen Gymnasium (kurz G8) in Bayern unterscheidet sich gar nicht so wesentlich vom Lehrplan für das 9-jährige Gymnasium (G9). Es kommen wieder Kreis und Kugel vor, Sinus und Kosinus sind Themen (allerdings weniger als im G9, weil Sinus und Kosinus schon in der 9. Klasse (G 8 ) eingeführt wurden) und das wichtige Thema Exponential- und Logarithmusfunktion wird intensiv behandelt. Dazu gestoßen ist die Funktionenlehre, auf die dann in der 11. Klasse sehr intensiv aufgebaut werden wird.

II. Inhalte des Lehrplans

Der Lehrplan für die 10. Klasse G8 gliedert sich folgendermaßen: